Кстати, об обозначениях
Разнообразия ради, данный недоурок целиком адресован технарям и любопытным школьникам, и касается он обозначений, которыми мы пользуемся.
Почему мы обозначаем интеграл так, как обозначаем,
\,\mathrm%20dx)
? Как объясняли в школе, знак интеграла (провербиальный крючок для унитаза) есть стилизованная буква S, сокращающая латинское слово Summa. Логично: для суммирования мы пользуемся значком
, который есть просто греческая буква "Сигма",
сокращающая то же слово транслитерирующая латинскую букву.
Указание на саму функцию тоже как-то должно присутствовать. Но зачем вот этот хвост,
? Если приглядеться повнимательней, то видно, что
и
набраны разными шрифтами. Зачем все эти танцы с бубнами? Почему нельзя антипроизводную просто обозначить как-нибудь вроде
, подобно тому, как производную мы обозначаем просто
?
Ну, начнём с того, что и обозначение для производной небезупречно. Физики это понимают хорошо: если
есть какое-нибудь расстояние (скажем, измеряемое в метрах), а аргументом является время, то смысл производной зависит от того, в каких единицах мы этот самый икс меряем: в секундах или часах? Хорошо бы в обозначении для производной как-то явно указывать, по отношению к чему она вычисляется. Именно поэтому физик чаще будет пользоваться обозначением
для производной, а если нас интересует её конкретное значение в точке x=a, то получается уж совсем громоздко,
)
.
Это только сильнее подогревает интерес к загадочной букве
. Что же она, чёрт побери, здесь делает, даже дважды (в числителе и в знаменателе дроби)? Лейбниц (чьей проницательности мы в этом месте обязаны очень удачным выбором обозначений) выглядел крайне неубедительно, говоря о бесконечно-малых приращениях (см.
ссылку на пиесу в последних строках предыдущего поста).
А что мы сегодня можем по этому поводу сказать, не усугубляясь в гиперреальные числа Робинзона, а по-пролетарски, по-простому?
Придётся вернуться к
тому, как приближаются (аппроксимируются) нелинейные функции "линейными". Мы говорим о том, что нелинейная функция
)
в окрестности точки a из области определения приближается аффинной функцией вида
=f(a)+c(x-a),\%20c=f^\prime(a))
. Но выражение в правой части есть
естественным образом функция не одного аргумента
, а двух: один - это та точка
, в которой мы приближаем функцию
, а другой - это "маленькое смещение"
от точки
до точки
. Зависимость от
- она какая есть, такая есть, а вот зависимость от
- линейная (без кавычек), и дифференциалом функции в точке
мы назвали именно линейную функцию
v)
, в которой
- "основной" аргумент, а
- всего лишь параметр.
Как-то надо отделить котлеты от мух. Это и сделал Лейбниц, романтик и филолог, хоть и не подозревал он, как его оправдают в двадцатом веке. То, что он называл "бесконечно малыми приращениями независимой переменной", мы сегодня называем касательными векторами. То, что он называл "дифференциалом функции", мы сегодня называем линейным отображением, аппроксимирующим функцию в данной точке. Если независимая переменная одномерна, то линейное отображение однозначно задаётся одним числом, которое в точности есть наклон "линейной" функции, т.е., отношением
. Итак, формула для производной оправдана, если считать, что
есть функция двух аргументов, от одного из которых она на самом деле не завист, а по другому является тождественным линейным отображением.
После этого никаких проблем нет с тем, почему выражение
\,\mathrm%20dx)
означает то, что означает. Если мы заменяем нелинейную функцию
набором аппроксимирующих линейных функций
v,\%20%20v=x-x_i)
и суммируем их приращения, то ровно то, что хотели, и получаем. Если следить за тем, что происходит с интегральной суммой, когда индекс
возрастает до
, то сумма прирастёт как раз выражением
v_i,\%20v_i=x_{i+1}-x_i)
.
Это всё отнюдь не бессмысленная схоластика: если в интеграле
мы делаем "замену переменных"
)
, то надо не просто подставить выражение
)
вместо каждой буквы икс в выражении функции
. Надо ещё и не забыть подставить
вместо
в сочетании
. И превратить потом это дело,
)
, в
\mathrm%20dz)
, где штрих уже означает производную по
.
Тому, кому всё сказанное кажется схоластикой: в определённой мере, так оно и есть, если мы разговариваем о функциях одной переменной. В нескольких переменных вся схоластичность исчезает, и выражения
\,\mathrm%20dx+%20g(x,y)\,\mathrm%20dy)
, называемые "
дифференциальными формами", начинают жить своей отдельной жизнью, очень яркой (кто слышал о теоремах Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского, те заценят). Тем же, у кого полёт в нескольких измерениях вызывает головокружение, - подумайте о тех преимуществах, которые даёт пользование интегралом Силтьеса
\,\mathrm%20dg(x))
, который определяется, как предел интегральных сумм вида
(g(x_{i+1})-g(x_i)))
, где
- разбиение отрезка
на маленькие отрезки
. Поучительное упражнение - угадайте, как выглядит формула замены переменных в интеграле Стилтьеса. Но это только после того, как вы догадаетесь, чему равен этот интеграл в двух крайних случаях: (а) когда функция
везде дифференцируема, и (б) когда функция
)
кусочно-постоянна, и точки разрыва не совпадают с точками разбиения.
Мораль: интегрируем мы на самом деле не функцию, а её
дифференциал =f^\prime(x)v)
. Вот и весь сказ. Триста лет понадобилось, чтоб разобраться в этих хитросплетениях, но худо-бедно справились.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
xaxam
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2017-04-25 04:09 pm (UTC)Флейм так флейм...
Date: 2017-04-26 01:06 am (UTC)no subject
Date: 2017-04-26 10:58 am (UTC)Шота с этим надо бы сделать, но шо именно я без понятия.
На Дриме в свое время была инициатива поддержать MathML, но заглохла; но даже если оживить ее, в жуже никаких шансов у нее нету.
no subject
Date: 2017-04-26 11:31 am (UTC)Самый простой вариант был бы - писать полный текст по-человечески, выкладывать его на какой-нибудь хостер, а в ЖЖ/Дрим вешать короткие резюме. Кто промотал, тот промотал, кто захотел - тот кликнул. Я так свои лекции студентам вывешиваю, да и не я один. Но тогда исчезнет genius loci и пропадёт желание читателей комментировать: оно настолько спонтанно, что уже после одного клика "back" от pdf-файла к резюме в ЖЖ испаряется (по крайней мере, я почти ни разу не получал откликов на тексты, повешенные за пределами ЖЖ).
А в нынешней форме у меня ещё и стимул есть, как можно меньше крючков писать. У многих на эти крючки аллергия и глаза начинают слезиться, совсем без них не получается, а вот минимизировать их число - надо пытаться.
no subject
Date: 2017-04-26 12:41 pm (UTC)no subject
Date: 2017-04-26 01:16 pm (UTC)Еслы вы найдёте другой сайт, позволяющий так же просто писать, то я готов поэкспериментировать.
no subject
Date: 2017-04-26 01:53 pm (UTC)Пример: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/utils/math/?file=&in-format=auto&latex-style=text&q=\int_a^b(f(x)%2Bg(x))\mathrm+d{x} =
Остальные не так работают, их можно отменить. Не знаю, почему они вообще попали в список.
А вообще неплохо бы запилить собственный соответствующий сервер. Прямыми руками, чтобы уже делал как надо, зараза. Подумаю над этим.
Покамест же пришел к выводу, что
центральное расположение формул
no subject
Date: 2017-05-02 01:46 pm (UTC)Это без проблем.
no subject
Date: 2017-04-26 01:23 pm (UTC)%5Cint_0%5E%5Cinfty%20%5Cmathbb%20R%5Cmathscr%20Z%5Cmathrm%20dt
я морально не готов...
no subject
Date: 2017-04-26 11:55 am (UTC)Спасибо.
no subject
Date: 2017-04-26 01:33 pm (UTC)Всегда ли это будет
no subject
Date: 2017-04-26 01:39 pm (UTC)Пафос интеграла Стилтьеса - что он позволяет "меру" dg с "атомами", разрывами первого рода для g.
no subject
Date: 2017-05-02 01:32 pm (UTC)no subject
Date: 2017-05-02 01:49 pm (UTC)no subject
Date: 2017-05-02 01:59 pm (UTC)no subject
Date: 2017-05-02 01:39 pm (UTC)no subject
Date: 2017-05-02 01:55 pm (UTC)В стохастическом исчислении мы вообще интегрируем нечто чудовищное.