xaxam | Что же мы всё-таки на самом деле интегрируем? (Reply)

Кстати, об обозначениях

Разнообразия ради, данный недоурок целиком адресован технарям и любопытным школьникам, и касается он обозначений, которыми мы пользуемся. Почему мы обозначаем интеграл так, как обозначаем, $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ ? Как объясняли в школе, знак интеграла (провербиальный крючок для унитаза) есть стилизованная буква S, сокращающая латинское слово Summa. Логично: для суммирования мы пользуемся значком $\sum$ , который есть просто греческая буква "Сигма", ~~сокращающая то же слово~~ транслитерирующая латинскую букву.

Указание на саму функцию тоже как-то должно присутствовать. Но зачем вот этот хвост, $\mathrm dx$ ? Если приглядеться повнимательней, то видно, что $d$ и $x$ набраны разными шрифтами. Зачем все эти танцы с бубнами? Почему нельзя антипроизводную просто обозначить как-нибудь вроде $\int f$ , подобно тому, как производную мы обозначаем просто $f^\prime$ ?

Ну, начнём с того, что и обозначение для производной небезупречно. Физики это понимают хорошо: если $f$ есть какое-нибудь расстояние (скажем, измеряемое в метрах), а аргументом является время, то смысл производной зависит от того, в каких единицах мы этот самый икс меряем: в секундах или часах? Хорошо бы в обозначении для производной как-то явно указывать, по отношению к чему она вычисляется. Именно поэтому физик чаще будет пользоваться обозначением $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ для производной, а если нас интересует её конкретное значение в точке x=a, то получается уж совсем громоздко, $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(a)$ .

Это только сильнее подогревает интерес к загадочной букве $\mathrm d$ . Что же она, чёрт побери, здесь делает, даже дважды (в числителе и в знаменателе дроби)? Лейбниц (чьей проницательности мы в этом месте обязаны очень удачным выбором обозначений) выглядел крайне неубедительно, говоря о бесконечно-малых приращениях (см. ссылку на пиесу в последних строках предыдущего поста).

А что мы сегодня можем по этому поводу сказать, не усугубляясь в гиперреальные числа Робинзона, а по-пролетарски, по-простому?

Придётся вернуться к тому, как приближаются (аппроксимируются) нелинейные функции "линейными". Мы говорим о том, что нелинейная функция $f(x)$ в окрестности точки a из области определения приближается аффинной функцией вида $g(x)=f(a)+c(x-a),\ c=f^\prime(a)$ . Но выражение в правой части есть естественным образом функция не одного аргумента $x$ , а двух: один - это та точка $a$ , в которой мы приближаем функцию $f$ , а другой - это "маленькое смещение" $x-a$ от точки $a$ до точки $x$ . Зависимость от $a$ - она какая есть, такая есть, а вот зависимость от $x-a=v$ - линейная (без кавычек), и дифференциалом функции в точке $a$ мы назвали именно линейную функцию $v\mapsto f^\prime(a)v$ , в которой $v$ - "основной" аргумент, а $a$ - всего лишь параметр.

Как-то надо отделить котлеты от мух. Это и сделал Лейбниц, романтик и филолог, хоть и не подозревал он, как его оправдают в двадцатом веке. То, что он называл "бесконечно малыми приращениями независимой переменной", мы сегодня называем касательными векторами. То, что он называл "дифференциалом функции", мы сегодня называем линейным отображением, аппроксимирующим функцию в данной точке. Если независимая переменная одномерна, то линейное отображение однозначно задаётся одним числом, которое в точности есть наклон "линейной" функции, т.е., отношением $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(a)$ . Итак, формула для производной оправдана, если считать, что $\mathrm dx$ есть функция двух аргументов, от одного из которых она на самом деле не завист, а по другому является тождественным линейным отображением.

После этого никаких проблем нет с тем, почему выражение $\int f(x)\,\mathrm dx$ означает то, что означает. Если мы заменяем нелинейную функцию $f(x)$ набором аппроксимирующих линейных функций $f^\prime(x_i)v,\ v=x-x_i$ и суммируем их приращения, то ровно то, что хотели, и получаем. Если следить за тем, что происходит с интегральной суммой, когда индекс $i$ возрастает до $i+1$ , то сумма прирастёт как раз выражением $f(x_i)v_i,\ v_i=x_{i+1}-x_i$ .

Это всё отнюдь не бессмысленная схоластика: если в интеграле $\int f(x)\,\mathrm dx$ мы делаем "замену переменных" $x=g(z)$ , то надо не просто подставить выражение $g(z)$ вместо каждой буквы икс в выражении функции $f(x)$ . Надо ещё и не забыть подставить $g(z)$ вместо $x$ в сочетании $\mathrm dx$ . И превратить потом это дело, $\mathrm dx=\mathrm dg(z)$ , в $g^\prime(z)\mathrm dz$ , где штрих уже означает производную по $z$ .

Тому, кому всё сказанное кажется схоластикой: в определённой мере, так оно и есть, если мы разговариваем о функциях одной переменной. В нескольких переменных вся схоластичность исчезает, и выражения $f(x,y)\,\mathrm dx+ g(x,y)\,\mathrm dy$ , называемые "дифференциальными формами", начинают жить своей отдельной жизнью, очень яркой (кто слышал о теоремах Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского, те заценят). Тем же, у кого полёт в нескольких измерениях вызывает головокружение, - подумайте о тех преимуществах, которые даёт пользование интегралом Силтьеса $\int_a^b f(x)\,\mathrm dg(x)$ , который определяется, как предел интегральных сумм вида $\sum f(x_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$ , где $a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$ - разбиение отрезка $[a,b]$ на маленькие отрезки $[x_i,x_{i+1}]$ . Поучительное упражнение - угадайте, как выглядит формула замены переменных в интеграле Стилтьеса. Но это только после того, как вы догадаетесь, чему равен этот интеграл в двух крайних случаях: (а) когда функция $g$ везде дифференцируема, и (б) когда функция $g(x)$ кусочно-постоянна, и точки разрыва не совпадают с точками разбиения.

Мораль: интегрируем мы на самом деле не функцию, а её дифференциал $\mathrm df(x,v)=f^\prime(x)v$ . Вот и весь сказ. Триста лет понадобилось, чтоб разобраться в этих хитросплетениях, но худо-бедно справились.