Какова вероятность, что кит на слона налетит?

[xaxam]

Не сломай головы

Подобно лучшим образцам для подражания, "Хеломские Ведомости" не брезгуют никакими средствами привлечения новых читателей и сохранения старых. Этим стулом мастер Гамбс начинает новую рубрику задач-головоломок для семейного обсуждения в выходные дни.

1. Задача по теории вероятности. Имеются 2ⁿ шахматистов, играющих друг с другом турнир "навылет", будучи случайным образом посеяны в вершинах стандартного двоичного дерева высоты n. Предположим, что шахматисты обладают "силой", случайной величиной, равномерно распределённой на отрезке [0,1], и в любой игре всегда выигрывает сильнейший, который и выходит в следующий тур. В этой ситуации турнир выигрывает абсолютно сильнейший из всех, и, если предположить, что сила участникам на старте раздаётся случайным образом, вероятность каждого из них выиграть турнир равна ровно 1/n. Всё это очевидно по соображениям симметрии.

Теперь предположим, что среди игроков имеются два выделенных шахматиста, - израильтянин и иранец, и в правила вносится единственное изменение. Независимо от соотношения сил, если в рамках турнира за столом сходятся эти два игрока, иранец отказывается и получает "баранку", а израильтянин автоматически выходит в следующий тур. Начальный "посев" этих двух игроков, а так же их "сила" по-прежнему случайные независимые величины.

Понятно, что такое правило дискриминирует иранца, уменьшая его шансы на победу в турнире до величины, строго меньшей чем 1/n (даже если иранец сильнее всех, имеется положительная вероятность, что в финале он нарвётся на израильтянина и останется без медали). Соответственно, вероятность победы каждого из остальных игроков немного увеличивается.

Вопрос: как соотносятся "дополнительные шансы на успех", полученные в результате такой иранской стратегии, у израильтянина и китайца? (под китайцем, естественно, подразумевается любой из невыделенных участников турнира, - у них шансы возрастают одинаково). Иными словами, отказ иранца от игры с евреем увеличивает шанс именно еврея выиграть более других, или же увеличивает шансы всех остальных, включая еврея, поровну?
Ответ обосновать.

2. Задача по лингвистике. Эпохальным событием жизни советской детворы в начале 70-х был выход на широкий экран полнометражного рисованного японского мультфильма "Кот в сапогах". Он стал культовым и был растащен по дворам и песочницам на цитаты типа "Даниэль-Даниель-Леман-Леман" и т.п.

Лёгкий вопрос: почему главного героя, кота, зовут в фильме "Перро", что по-испански означает "собака"?
Трудный вопрос: почему героя-любовника в фильме зовут "принц Калава"? Что это означает и на каком языке?
Ответ обосновать.

3. Задача по абстрактной чепухе. Зачем и кому нужны коалгебры?
Ответь обосновать с философской точки зрения в рамках теории познания бесконечного.

Ничего не скринится.

Comments

Уточнение условий задачи.

[ben-tal.livejournal.com]

"имеется положительная вероятность, что в финале он нарвётся на израильтянина и останется без медали" -- а если не в финале?! он-же всё равно вылетит и без медали? или я чего не понял...

Re: Уточнение условий задачи.

[pilpilon.livejournal.com]

Пусть иранец самый сильный, израильтянин самый сильный в слабой половине, посев произошел так,что листья упорядочены по силе, то израильтянин выиграет. китаец в его позиции -- нет.

Re: Уточнение условий задачи.

[ben-tal.livejournal.com]

любопытно.

[pilpilon.livejournal.com]

А калава - это карабас без именительного окончания?

[xaxam.livejournal.com]

Бинго! Японцам иначе просто не выговорить было.

Интересно, а вот те, кто мультик на русский переозвучивали, читали сказку Шарля Собакина?

[trurle.livejournal.com]

Народная этимология - принц на самом деле сабака!

[xaxam.livejournal.com]

Не замай. Наше домашнее животное научилось запрыгивать в машину через открытое (опущенное) стекло, в результате чего получило почётное звание "шайтан-кальба".

[udod.livejournal.com]

коалгебры комодули и конр модули нужны юзеру posic. Куда ж он без них.

[xaxam.livejournal.com]

Стрелки переводить и без Лёни много кто умеет, даже если в категориях не силён. А вот в рамках познания бесконечности (http://philpapers.org/rec/CORUTI-2) слабо?

[avzel.livejournal.com]

Я бы сказал, куда ж они без него.

[(Anonymous)]

Китайцам специальное правило тоже помогает. С правилом китаец получает в среднем более слабого соперника, чем без правила. Но помогает не так сильно, как израильтянину. Израильтянину с некоторой вероятностью p достается соперник с нулевой эффективной силой, а китайцу с вероятностью, меньшей p — просто более слабый, чем достался бы без правила. Что-то типа такое.

[xaxam.livejournal.com]

Это-то понятно: если раньше вероятность каждого игрока на победу в турнире была одинакова, 1/n, то по новым правилам она стала равной одному из трёх значений: 1/n-s_ир, 1/n+s_евр и 1/n+s_кит. Из-за того, что сумма вероятностей по-прежнему равна 1, получаем, что s_ир=s_евр+(n-2)s_кит, и очевидно, что все числа положительны.

Вопрос в задаче был, верно ли что s_кит=s_евр, или же s_кит < s_евр, и иранец "отблагодарил" таким образом израильтянина больше, чем других.

Бытовое решение первой задачи.

[sgustchalost.livejournal.com]

посколку в условиях неявно предполагается, что ответ не завиcит от N,
возьмем N = 0.
Вероятность победы иранца, еврейца и цыцарца не изменится от введения этого правила.
Не угодно-с?

возьмем N = 1.
Вероятность победы еврейца увеличивается.
Не угодно-с?

возьмем N = 2.
В зависимости от расклада вероятность победы еврейца увеличивается или уменьшается.
... переберем все расклады...

Re: Бытовое решение первой задачи.

[xaxam.livejournal.com]

Задача, очевидным образом, осмысленна лишь при n=2 и выше. Случай 4 игроков, действительно, анализируется прямым перебором вариантов (всего двух, на самом деле, - встречаются ли Е и И в первом туре или нет). Варианты, очевидно, равновероятны. Каковы вероятности победы Е и К в каждом из случаев, Вы посчитали?

[avzel.livejournal.com]

вероятность каждого из них выиграть турнир равна ровно 1/n.

Кхм, а не 1/2^n?

[xaxam.livejournal.com]

Ну да, разумеется, единичка на всех поровну...

[5paws.livejournal.com]

Пусть N - число игроков. Понятно, что все эти иранские выкрутасы имеют смысл только если иранец - лучший, иначе лучший все равно выиграет. Так что предположим, что это так. Тогда жидовской морде достаточно быть лучшим из оставшихся (p=1/(N-1)), но это не необходимо, так что вероятность строго больше 1/(N-1). У иранца тоже шанс ненулевой, поэтому остальным остается строго меньше 1/(N-1) на нос.

[xaxam.livejournal.com]

Пардон, стёр ошибочный коммент.

[nivanych.livejournal.com]

> Зачем и кому нужны коалгебры?

Это понятие родилось в попытках формализация старой русской абстракции "дохуя".
Извиняюсь за выражения.

Теория вероятностей – прислужница сионизма

[ztatyan.livejournal.com]

Увы, ответ на первую задачу неутешителен. Коварный передовой отряд империализма (http://www.tr.rkrp-rpk.ru/get.php?3331) в очередной раз путём отвратительных махинаций добился незаконных преимуществ не только по отношению к угнетаемым иранцам (к этому международная общественность давно привыкла), но и по отношению к держащимся в стороне от конфликта китайцам. Не могут пархатые удержаться при виде наживы!
А вот и доказательство. Для простоты обозначений будем писать k=2^n. Заметим, что сионист может победить одним из нескольких способов (все события несовместные):
С1: сионист получает высший рейтинг. Вероятность 1/k.
С2: сионист получает второй рейтинг, а высший у перса. Вероятность 1/k(k-1).
С3: сионист получает третий рейтинг, второй у китайца, а высший у перса, который встречается с китайцем раньше, чем с сионистом. Вероятность считать не надо, она положительная.
С4: …
Таким образом, вероятность победы израильтянина больше чем 1/k+1/k(k-1)= 1/(k-1). Если бы у всех китайцев была такая же вероятность выигрыша, то всего с израильтянином получилось бы (k-1)*1/(k-1)=1, и несчастному иранцу не осталось бы ничего. Но поскольку этого сионисты пока не добились, налицо противоречие. Вывод – у китайцев меньше шансов.

[iizc.livejournal.com]

Справедливость все же восторжествует.

Израильтянин выиграет в дополнение к своим законным 1/n, если он второй, а иранец первый, что есть дополнительные 1/n**2 как ни верти.
Китаец выиграет в дополнение к своим законным 1/n, если он второй (1/n), a иранец первый (1/n**2) умноженное на число меньшее единицы, которое есть шанс иранца наткнуться на израильтянина.

А вообще-то в опасные игры играем, с матом в конце

[xaxam.livejournal.com]

Ты занизил и тот, и другой ответ. Израильтянин может иметь всего лишь срединный ранг (самый сильный из половины слабейших) и получить в финале иранца, высадившего всю верхнюю половину.

Аналогичным образом, чтобы стать чемпионом, если израильтянин встретился с иранцем в полуфинале и выиграл его, будучи всего лишь на 25% уровне (50% в "своей" половине), китайцу достаточно при удачном раскладе быть лучше всего 75% из игроков.

И т.д. Это, как отмечено выше, суммы довольно быстро убывающих членов (я перечислил самые маленькие, но "самые невероятные" слагаемые. А ты, в свою очередь, предъявил только первые (самые большие) члены, не оценив один из них.

Такое решение можно довести до ума, видимо. А мне хотелось бы найти "олимпиадное" решение, использующее только идеи симметрии.

[vb-k.livejournal.com]

При прочих равных, китаец обязан быть силнее еврея, чтобы победить. Еврей же может победить без этого условия (быть сильнее какого-то конкретного участника). Получается, что еврей побеждает с вероятностью вдвое большей, чем китаец.

[vb-k.livejournal.com]

Пардон, разница в добавке к 1/(2**n) в два раза больше у еврея, т.е соотношение вероятностей стремится к 2 при увеличении n.

[levimem.livejournal.com]

Ну, очевидно.

Если неиранец первый нумер, то он всегда выиграл.
Тем самым интересно только если иранец первый нумер (с вероятностью 1/п), тогда вероятность выиграть у еврея всегда равна верятности выигрыша предшествующего ему по силе игрока. Т.е. - если еврей имеет рейтинг 2, то он всегда выигрывает, если у еврея рейтинг 3, то он выигрывает с той же вероятностью, что и гой с рейтингом 2 - если первыми встретися гой и иранцем, то выиграет еврей, если первыми встретися гой с евреем, то выиграет иранец, а если первым встретится еврей с иранцем, то выиграет гой). Точно так же, если иранец выбьет достаточно игроков, чтобы игрок с рангом п стал вторым номером в оставшихся, то все решит такая же комбинация стречь гой-иранец-еврей). Тем самым применяем теорему о сопровождающей функции - евреем быть немного лучше.