Репетиторский класс по ТФКП

[xaxam]

Возвращаясь к дедовским скрепам

Если кто запутался в "технических" деталях предыдущего поста, про "аналитическое продолжение" функций с меньшей области определения на большее, — этот пост для вас. Главная цель — объяснить, чем вещественно дифференцируемая функция отличается от комплексно дифференцируемой.

Формально — почти ничем. Если у нас есть вещественная функция f(x) вещественной переменной x ∈ ℝ и а ∈ ℝ — внутренняя точка области определения f, так, что f(x) определена для всех иксов, достаточно близких к а, то можно определить разность, дробь (f(x)-f(a))/(x-a), при всех иксах, отличных от а. При x = a у нас проблема: отношение 0/0 не определено. Но тут на помощь прибегает банда преподов матана с магическим словом "лимит": отношение, конечно, не определено, но предел написанной дроби иногда существует при x → a, и тогда мы бьём в барабаны и пляшем всю ночь под бананами: (x²− a²)/(x − a) = x + a = 2a при любых иксах и в любой точке а ∈ ℝ.

У банды преподов с матана неплохо было бы спросить мандаты: а с какого хера лысого вы заменяете нам очевидный процесс вычисления значений функции какой-то сраной комбинацией эпсилонов и дельт, которую сами преподы иногда стесняются рассказать по чеснаку, особенно если они, как яша-драчок, харьковского разлива, и не из ФТИНТа, а с Салтовки.

Правильный ответ — функция называется дифференцируемой в точке a, если она хорошо приближается линейной функцией вблизи этой точки. Вся хрень с эпсилонами-дельтами нужна исключительно для того, чтобы придать смысл всем словам в этой фразе.

1. Что такое "линейная функция"? Тот случай, когда в школе и в университете понимание "линейности" разное. В университете линейной функцией одной переменной x называется любая функция вида y = λx, где λ ∈ ℝ, и в таком своём виде понятие линейности легко и приятно обобщается для случая нескольких переменных.
   В школе линейной называются все функции вида y = λx + μ, где λ,μ ∈ ℝ. Причина — геометричность: функция линейна если и только если график функции на плоскости (x,y) — прямая линия. Забавным образом, школьное определение оказывается в данном контексте удобнее университетского.
2. Что значит, что функция f(x) приближается линейной функцией g(x) = λx + μ вблизи этой точки? Это значит, что значения f(x) и g(x) близки друг к другу, когда x близко к а при подходящем выборе параметров λ,μ ∈ ℝ.  Например, легко добиться того, что f(a) = g(a), просто подставив а в это равенство. Для этого достаточно, чтобы λа + μ = f(a). Такую функцию приятно записать в виде g(x) = λ (x − a) + f(a), где f(a) ∈ ℝ уже не функция, а число. Осталось сделать один шаг и сказать, как надо выбрать λ. Для этого надо, чтобы разности f(x) − f(a) и λ (x − a) были близки друг другу, когда x близко к a.
3. Если б удалось добиться точного равенства при всех x — сама функция f была бы линейной. А что делать, если точное равенство невозможно? надо попытаться выбрать λ так, чтобы разница между ними была как можно меньше. Но не надо путать разницу и разность. И f(x) − f(a), и λ (x − a) стремятся к нулю, когда x → a при любом выборе λ, и разность между ними будет малой. Но вот отношение (f(x) − f(a))/(x − a) уже совершенно не обязано к чему-нибудь стремиться. Например, если а = 0 и f(x) = | x |, то отношение | x |/x = ±1 не стремится ни к чему. Но если вдруг нам повезло и отношение имеет предел при x → a, то есть самый прямой смысл выбрать число λ равным этому пределу: тогда чем ближе x к a, тем ближе рассматриваемое отношение будет к λ.
4. Легко видеть™, что прямая (график линейного приближения g(x) = λ(x − a) + f(a) на плоскости x,y) касается графика функции f(x) в точке а.

Как "комплексифицировать" эту конструкцию, заменив вещественные числа ℝ на комплексные ℂ? Самое простое — не менять ни одного слова вообще. Наша функция теперь будет иметь вид f: U → ℂ, где U — область на комплексной плоскости (x,y), и будем обозначать аргумент функции f буквой z = x + iy. Комплексно-линейная функция g: ℂ → ℂ определена при всех z выражением g(z) = λz + μ, но где на этот раз z,λ,μ ∈ ℂ. Функция f называется комплексно-дифференцируемой, или голоморфной в точке a, если a ∈ U является внутренней точкой области определения, и f хорошо приближается вблизи этой точки комплексно-линейной функцией g(z), заданной двумя комплексными параметрами λ,μ ∈ ℂ.

Все остальные "алгебраические" пункты обсуждения выше тоже сохраняются дословно с заменой вещественных чисел на комплексные. В частности, для голоморфности (в области определения U) необходимо и достаточно существования пределa λ_а = lim _z→a(f(z) − f(a))/(z − a).

А вот геометрически... Геометрический смысл формул меняется радикально. В вещественном случае графики функции f и её линейного приближения можно рисовать на двумерной плоскости ℝ², которую легко себе представить. Напротив, комплексная переменная z и значения w функции f двумерны, и график функции f, лежащий в ℂ² = ℝ⁴ (четырёхмерном пространстве) вообразить себе натурно можно лишь с помощью психоделиков. Но есть способы обойти эту проблему.

Что такое график вещественной функции? Вы тыкаете пальцем в точку на оси иксов, прикладываете вертикальную линейку и видите образ этой точки. Много ли вам корысти со знания образа одной точки? Немало, однако. Все разумные множества на числовой прямой сконструированы так или иначе из интервалов (открытых или замкнутых) с границами в точках. Соответственно, легко сообразить, как будет выглядеть образ любого множества.

С отображениями плоскости в плоскость реальность гораздо более многообразна. Если забыть про структуру комплексного умножения на ℂ = ℝ², то можно (мысленно) экспериментировать с пластиковой нейлоновой плёнкой. Вы вытягиваете прямоугольный лоскут из рулона, рисуете на нём вашу любимую картинку, и широким жестом отправляете лоскут на поверхность плоского стола. Пластиковая плёнка на самом деле жлобский тест: в процессе броска она у вас слипнется сама с собой, и на поверхности стола образуется комковатая мерзость. Но идея, надеюсь, понятна: чтобы описать, как конкретное отображение f: ℂ → ℂ действует на точки плоскости, надо посмотреть, как оно действует на простейшие фигурки, и сказать, — а дальше думай сам.

1. Нулевой пример: линейная функция g(z) = z + μ. Досуг имея™, каждый узреет в такой "функции" параллельный перенос на комплексный вектор μ. Как он действует на любую "картинку" — объяснять излишне.
2. Первый пример: линейная функция g(z) = λz + μ = (λz) + μ, композиция "линейного-по-университетски" отображения z ↦ λz со сдвигом. Что мы знаем про университетскую кухню?
   • Если λ ∈ ℝ₊, умножение на λ есть подобие простое, оно же гомотетия страшная. Случай отрицательных λ требует после себя центральной симметрии, но "ориентация сохраняется" (если вас заботит ваша ориентация, спросите меня, и я вас успокою; никакая голоморфность вам не навредит).
   • Если λ = iω ∈ iℝ чисто мнимое число, то умножение на λ есть вращение на радианный угол ω против часовой стрелки. Если ω опасно близко к 2π "снизу", проще думать о вращении на малый угол против часовой стрелки.
   • В случае "общего положения" λ = α + iω с вещественными α и ω, преобразование есть композиция, — подобие + поворот.
3. Какой из сказанного следует вывод? Неизбежный: если g — комплексно-линейное отображение, и множество X ⊆ ℂ любая окружность на комплексной плоскости, то g(X) — снова окружность на этой же плоскости. Второй вывод — если вы в исходной окружности нарисуете все радиусы, соединяющие центр с граничными точками, то комплексно-линейное отображение пошлёт все эти радиусы в радиусы новой окружности g(X), сохраняя углы между ними.
4. Сказанное касается только одного линейного отображения g. А что будет, если у нас есть нелинейное отображение f, которое в каждой точке a ∈ U (точнее, окрестности точки) своей области определения U ⊆ ℂ аппроксимируется своим линейным отображением со своей лямбдой
   
   λ_а = lim _z→a(f(z) − f(a))/(z − a),
   зависящей от a?
5. Давайте набьём множество X (или даже всю область U) очень маленькими кружочками, касающимися друг друга (например, с центрами в вершинах стандартной шестиугольной решетки). Под действием голоморфного в U отображения (функции) плоскости в плоскость маленькие кружочки перейдут почти в маленькие кружочки, и все касания очевидным образом сохранятся. В результате исходная "пенка" (укладка кружков, circle packing) превратится в укладку кружков маленьких, но разных радиусов, которые вместе заполнят совсем другую область, см. илл. Конечно, полная картина нарисуется только тогда, когда мы перейдём к пределу (радиусы изначальных кружков стремятся к нулю).
6. Предыдущая картинка крайне трудна для аккуратного обоснования и основана на идеях нашего современника, Уильяма Тёрстона (1946-2012). Основные концепции современной теории функций комплексной переменной были открыты Коши между 1814 и 1825 годами (даты двух его фундаментальных публикаций), и основывались на понятии интеграла в комплексной области. Но геометрические картинки представляли себе задолго до Коши уже Эйлер и Бернулли. Вот, например, как выглядит простейшая нелинейная функция, "комплексная парабола" w = z².
   
   Слева нарисована "координатная сетка" на верхней полуплоскости y > 0 переменной z = x + iy, а справа — то, во что "комплексная парабола" превращает эту сетку: горизонтальные и вертикальные прямые превращаются в семейства лежачих парабол рогами влево и вправо и пересекающихся под прямыми углами. Вещественная ось на плоскости z "складывается пополам" и двукратно накрывает положительную полуось на плоскости w. Вы спросите, а что же происходит с точками нижней полуплоскости y < 0? Ответ: а то же самое, поскольку парабола — чётная функция: (−z)²= z² (разумеется, точки z и −z центрально симметричны).
7. Понявши, что происходит с координатной сеткой, уже совсем просто понять, что происходит с любой прямой (которую поворотом можно сделать, скажем, горизонтальной). Отдельно надо разбирать прямые, проходящие через начало координат, точки с постоянным аргументом θ = arctan (y/x): они превращаются в лучи, дважды накрывающие луч с аргументом 2θ. Круг | z | = R с центром в начале координат при "параболическом отображении" дважды накроет концентрический круг | z | = R².

Вся эта красота впечатляет и намекает на то, что голоморфные отображения гораздо более "жёсткие": если график вещественной дифференцируемой функции можно немного пошевелить в окрестности одной точки, оставив его неизменным в других, далёких, точках, то для комплексно дифференцируемой функции всё гораздо сложнее. Условие, что кружочки переходят в кружочки, пускай и с доворотом и изменением радиуса, но с сохранением касания, делает такое шевеление как минимум проблематичным.

Чтобы осознать, что могло бы быть, надо сделать последний шаг и понять, чем гладкость (условие вещественной дифференцируемости) в корне отличается от условия комплексной дифференцируемости, если мы "забудем" структуру комплексного умножения на плоскости ℂ, оставив на плоскости ℝ² только структуру вещественного умножения (подобие + центральная симметрия). В этом случае образ точки (x,y) при ℝ-линейном отображении g: ℝ² → ℝ² будет записываться формулами (u,v) = g(x,y) где

u = αx + βy + ρ,            v = γx + δy + σ.

Отображение g задаётся 6 числовыми параметрами, обозначенными греческими буквами. Член (ρ,σ) соответствует сдвигу, не влияющим на форму фигур. Если определитель 2×2-матрицы не равен нулю, уравнения можно разрешить, выразив (x,y) через (u,v) тоже "линейным-по-университетски" образом. Если теперь подставить эти соотношения в уравнение окружности x² + y² = 1, то мы увидим, что координаты точек образа будут связаны квадратичным соотношением вида Ax² + Bxy + Cy² = 1, которое в общем случае задаёт не окружность, а эллипс с двумя разными полуосями. Для того, чтобы отображение g было поворотом с возможным растяжением, требуется выполнение двух условий между оставшимися четырьмя греческими буквами: γ = −β, δ = α. Что это за условия?

Рассмотрим отображение h плоскости ℂ, соответствующее умножению на i = (0,1): по определению, оно переведёт (x,y) в (−y,x). Применив к z = (x,y) сначала g (по формулам, написанным выше), а потом h, мы видим немедленно, что приведённые условия означают коммутативность: g(h(z)) = h(g(z)), т.е., g(iz) = ig(z). Это и есть та самая "линейность-по-университетски" отображения g над комплексными числами.

Иными словами, условия комплексной дифференцируемости (голоморфности) комплекснозначной функции f от двух вещественных переменных x, y ( = одной комплексной переменной z = x + iy) , в добавок к условиям типа "гладкости", означают ещё два дополнительных соотношения между частными производными функции f(x,y) = u + iv. Эти уравнения называются уравнениями Коши-Римана и имеют вид

u_x = v_y,      u_y = −v_x.

Именно "жёсткость" этой системы дифференциальных уравнений и накладывает столь сильные ограничения на поведение голоморфных функций.

Ну, и заключительный аккорд, — как до всего этого люди додумались. Для начала слово "додумались" принципиально неверно: все эти прелести и красоты люди открыли.

Исторически сначала в обиход были введены степенные ряды, без лишних церемоний, как многочлены бесконечной степени (Ньютон, всё он, великий!). На сходимость степенных рядов стали обращать внимания уже заметно позже, в эпоху Эйлера-Бернулли. Прелесть рядов как "полиномов" состояла в том, что в ряд, так же, как в полином, можно подставлять не только действительные рациональные числа, но и комплексные (в полиномы подстановка возможна всегда вообще, в случае рядов надо отдельно заботиться о сходимости).

Концептуальный прорыв сделал Коши. С дифференцированием рядов ему всё было понятно, прежние формулы просто продолжали работать, а над геометрическим смыслом потеть ещё не начали. И тут Коши задался вопросом: а как интегрировать в комплексной области? Человечество уже открыло великий результат, теорему Ньютона-Лейбница, связывающую интеграл (понимаемый как бесконечную сумму бесконечно малых вкладов от отрезочков, на которые надо разбить отрезок интегрирования) и антипроизводную (первообразную). Нужно тебе проинтегрировать функцию f? Иди листай таблицы производных, ищи, появляется ли она там в правой части от знака равенства. Нашёл — выиграл, бинго! Берёшь эту антипроизводную и считаешь её разность между концами отрезка интегрирования.

Но какой в этом смысл, если функция f определена в комплексной плоскости? Как определить её интеграл? Коши понял: ничего придумывать не нужно, нужно всего лишь взять известное понятие интеграла, и расширить его применение настолько, насколько позволяет двумерность плоскости. На одномерной прямой областью интегрирования (почти) всегда является отрезок, полностью определяемый своими концами. Надо только "договориться", что понимать под интегралом по "отрезку" [a,b], когда b ≤ a (спойлер: сменить знак. Почему? ну, можно помахать руками, например, при таком соглашении для любых трёх точек a,b,c на прямой интеграл по [a,b] плюс интеграл по [b,c] равен интегралу по [a,c]) независимо от того, каков порядок между этими точками). Хитрый Коши взял этот факт за "определение" комплексного интеграла: если есть упорядоченная последовательность точек z₀, z₁, z₂, ... z_n на комплексной плоскости, то очевидно, как надо понимать интеграл вдоль ломаной линии, соединяющей эти точки в указанном порядке прямолинейными отрезками от z_k до z_k+1. Ну, а случай прямолинейного отрезка простой заменой переменной (поворотом и переносом на плоскости) можно "уложить" на вещественную прямую, с которой всё ясно.

Додумавшись до этого, Коши наверняка подпрыгнул: а чем таким особенным выделяются ломаные линии от других "хороших" путей, лежащих в плоскости? Да ничем, лишь бы эти пути были непрерывны (гладкость понадобится только чтобы интегрировать совсем мерзкие функции). Но тут немедленно возникает засада. В отличие от прямой, на которой любой "путь" между двумя точками есть прямолинейный отрезок, на плоскости между двумя фиксированными концами можно проложить бесконечно много путей (даже если ограничиться кусочно-линейными ломаными). Будет ли интеграл зависеть от пути?

И тут под фанфары на сцене появляется Теорема Ньютона-Лейбница. Если у интегрируемой функции f есть антипроизводная (первообразная) F, то интеграл не зависит от пути. В самом деле, по ТНЛ интеграл по каждому звену (ломаного) пути равен приращению F между концами этого звена. Если мы просуммируем по всем звеньям, значения F в промежуточных вершинах ломаной сократятся ("телескопическая" сумма!), останется только разница между началом и концом всего пути. Если концы фиксированы, то ответ не зависит от промежуточного поведения пути. Ура, шампань в стюдию!

Но у полученного результата есть неожиданное следствие. Что будет, если путь замкнутый и конец совпадает с началом? Получится нуль. Как-то обидно строить целую теорию ради тождественного нуля. Может, наличие антипроизводной™ — серьёзное ограничение, и именно заради этого ограничения весь огород и стоило городить?

Оказалось, что именно так и оказалось. Самые бытовые функции — степенные, x^μ с разными показателями μ ∈ ℤ. Всё прогрессивное человечество знает™, что производнaя степенной функции — снова степенная функция, производная от x^μ равна μx^μ−1. Какая строчка из этой таблицы не читается справа налево? Ну правильно, конечно, единственная строчка с μ = − 1. В этом случае антипроизводная, равная x^μ+1/(μ + 1), предполагает деление на ноль. Что есть совершеннейшее табу, если не помудрить над правилами кашрута. В данной конкретной ситуации никаким кашрутом ситуацию не спасти.

Но! Многочлены (а также степенные ряды) дозволяют исключительно мономы x^μ с неотрицательными показателями μ ∈ ℤ₊ = {0} ∪ ℕ. У всех у них есть (по крайней мере, на формальном уровне) антипроизводные, а значит (почленное) интегрирование легально. Значит, интеграл по замкнутому пути от любой голоморфной в области "без дыр" U функции f равен нулю: это стандартная математическая конструкция гомотопии  (перестаньте уже гыгыкать над греческими префиксами гомо- и голо- !) позволяет немедленно увидеть.

Но "Области без дыр" — тоже засада немалая, что возвращает нас в исходную точку всей Одиссеи. "Безупречное тождество" Эйлера

(1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + x⁴ −...

заметает под сукно разницу между степенным рядом (имеющим прекрасную формальную первообразную-антипроизводную) и рациональную функцию в левой части, явно имеющую проблемы в точке x = −1. Соответственно, теория комплексного интегрирования Коши предсказывает принципиально разные ответы для замкнутых путей, обходящих точку x = −1, и путей, проходящих вдалеке от этой точки.

Коши довёл свою теорию до фантастического результата.

Теорема. Если есть комплексная функция f, голоморфная внутри замкнутого пути Γ, ограничивающего односвязную ("без дыр внутри") область U ⊆  ℂ,  то значения функции f(z) во всех точках z внутри U однозначно восстанавливаются по картинке, изображающей f(Γ), то есть по значениям f на границе Γ = ∂U ⊆ ℂ.

Вдумайтесь в этот результат. Ваш лечащий врач обмеривает вас снаружи, а потом, пожужжавши на несуществующем  кошиметре, сообщает вашему хирургу, где и какой формы у вас опухоль (уплотнение тканей). Если вас такое не впечатляет, то скажите мне, что и где.

Спойлер. Это та сама теорема, которая позволяет вычислить подъёмную силу крыла самолёта, зная профиль этого крыла. К сожалению, соображения секретности (и размеры полей этого блога) не дают мне дать более подробные объяснения.

На сём месте ваш Шахери-заде по необходимости заканчивает дозволенные речи. У каждого Заде есть своя Ханум, которая ревнует к его поучениям. Это ещё кому-нибудь интересно на здешних просторах?

Объясниловка (для самого себя). Я всё прикидываю, кто мог бы способен понять подобные рассказы. Есть несколько кандидатов:

• Школьники 10-11-12 классов, мотивированные "разобраться в математике".
• "Училки" (на самом деле, всё чаще мужского рода), которые приходят к нам, чтобы помочь по п.1.
• Студенты колледжей и даже университетов, которых "натаскивают" на типовые методы решения экзаменационных задач, не закладывая в них интуиции, в каком направлении может находиться интересующий их "метод". Именно с этой задачей я связываю главные надежды на прогресс после внедрения ИИ, но пока мы ещё сильно далеки от этой цели.  

Comments

[(Anonymous)]

Спасибо!

Но насчет спойлера есть сомнения

[ionial]

Комплексно-линейная функция g: ℂ → ℂ определена при всех z выражением g(z) = λx + μ, но где на этот раз λ,μ ∈ ℂ.

а х разве не в ℂ?

наверное описка и вместо х должен быть z.

[epimorphisms_split]

Взрослые дядьки-технари, желающие вспомнить молодые годы, а так-то по жизни им это на фиг не надо.

[mr_numeraire]

Перевел опусом на английский. Отправил в Mathematics Magazine, single-authored. А я вас пердупреждал!

[xaxam]

Будете в этом магазине, купите мне пузырёк вискаря, лучше бурбона. В долгу не останусь.

[mr_numeraire]

Хэй! Магазинчику 100 лет. Люди типа van der Waerden-а не стеснялись тискать там статейки.

[brevi]

Спасибо, интересно, я не знал про конструкцию Тёрстона (моим руммэйтом, а потом начальником, были ученики Тёрстона, из общения с которыми я вынес чувство ужаса, которое он вызывал у нормальных, даже очень умных, людей).

Про комплексную дифференцируемость нас учили так: дифференциал вещественно-дифференцируемой комплекснозначной функции есть линейое отображение из плоскости dz в плоскость dw = df(z), то есть, умножение 2-вектора на 2x2 матрицу. Такая функция заодно является комплексно-дифференцируемой в данной точке, если эту линейную алгебру двумерных вещественных векторов можно заменить одномерным комплексным умножением.

[(Anonymous)]

Про крыло самолета не совсем понятно. Если считать крыло абсолютно жестким (что не так далеко от реальности в "steady state"), то воздух "видит" (=взаимодействует налетая и сталкиваясь) только его поверхность, что у него внутри - никак не влияет. Зачем же здесь теорема Коши?