Немедленное разоблачение

[xaxam]

Секрет гармоничности

Поскольку активность в разоблачении махинаций математиков с бесконечными рядами снизилась до нуля, пришло время опубликовать разгадку. Как водится, рассказ лучше начинать с начала.

Когда молодых оболтусов обучают на первом курсе премудростям сходимости и расходимости рядов, начинают непременно с числовых рядов, обычно с рациональным "общим членом" (а как ещё задавать a_n в явном виде, как функцию от n? разве что какие-нибудь элементарные функции писать, ну, есть ещё факториалы всякие, над природой которых вообще никто не задумывается). Наука на первых порах кажется не особенно хитрой: если все члены ряда одного знака, то он либо сходится к конечному числу, либо расходятся к плюс бесконечности. Есть несколько "стандартных" рядов, с которыми полезно сравнивать, из которых важнейшим для нас является кино и цирк геометрическая прогрессия с убывающими членами. В общем, ремесло как ремесло. Если ряд расходится, то у него нет суммы, если сходится — сумма есть. Для рядов с членами разных знаков ситуация более деликатная: появляется промежуточная возможность, когда сумма ряда зависит от порядка суммирования. Конечно, перестановка конечного числа членов ряда ни на что не повлияет, но бесконечные перестановки могут изменить сумму как угодно.

Как и в школе, ряды могут зависеть от дополнительных параметров. Например, рассмотрим ряд ∑n^λ (суммирование по всем натуральным n, где λ ∈ ℝ — параметр). Если λ ≥ 0, то члены ряда вообще не стремятся к нулю когда n→ +∞ и ни о какой сходимости речь не может идти вовсе. Если λ < 0, члены ряда убывают, тем быстрее, чем больше  | λ |. Самый известный ряд в этом параметрическом семействе — гармонический, при λ = −1.

Гармонический ряд расходится: для того, чтобы это увидеть, надо сгруппировать его члены, соответствующие номерам 1, 2, (3,4), (5,6,7,8), (9,...,16), (17,..., 32) (число членов в группах растёт как степени двойки). Поскольку члены гармонического ряда монотонно убывают, сумма чисел в каждой группе не меньше, чем 1/2, 2×(1/4) = 1/2, 4×(1/8) = 1/2, 8×(1/16)=1/2, ... так что суммы сгруппированного ряда растут до бесконечности.

Что будет при  λ = −2? Помогает следующий трюк: при n ≥ 2 мы имеем неравенство n⁻²< n⁻¹(n−1)⁻¹ (напишите это неравенство в виде обычных дробей с чертой, которые невозможно набрать в HTML: один из двух множителей n в знаменателе заменяется на меньший множитель n−1). Заметим, что в правой части стоит положительная разность (n−1)⁻¹ − n⁻¹. Если просуммировать несколько подряд идущих разностей такого вида, то все внутренние члены сократятся и останется только разность между первым членом 1 и последним членом n⁻¹. Такие ряды называются "телескопическими": их суммировать — одно сплошное удовольствие, они складываются, как подзорная труба.

Ясно, что при λ < −2 члены ряда будут убывать ещё быстрее, т.е., сходимость сохранится. Хочется надеяться, что "граница сходимости" находится где-то между λ = −2 и λ = −1. Так оно и есть на самом деле, и граница проходит в точности по минус единице: при λ < −1 ряды сходятся, т.е., гармонический ряд — "самый медленно расходящийся ряд" в данном семействе.

Казалось бы, никаких двусмысленностей нет и быть не должно: у расходящихся рядов нет суммы, точка. Отчего же Эйлер не мог успокоиться и всё пытался просуммировать расходящиеся ряды? Ответ: от гениального ума и потрясающей интуиции. Говоря о рядах, он сменил парадигму. Для Эйлера ряд ∑ n^λ был не числовым рядом с параметром λ, функциональным рядом, членами которого являются функции от λ. Казалось бы, горшок остался горшком, назвать ли переменную λ числовым параметром или аргументом функции n^λ — что в лоб, что по лбу, ничего не поменяется. Неверно: поменяется всё. Только давайте, как принято, обозначать аргумент функции не греческой буквой λ, латинской буквой (x,z,s, ...) — это ж ни на что не повлияет, правда? Хоть горшком назови...

Но парадигма меняется. Сложить два числа можно всегда (умножить тоже). С делением небольшая проблема — на ноль нельзя делить, но кому ж в голову придёт делить на ноль? A вот у функций (скажем, вещественнозначных) есть область определения U⊆ℝ, что записывается в виде f: U → ℝ. Если есть две функции f: U → ℝ и g: V → ℝ (каждая со своей областью определения), то их сумма определена только на пересечении U ∩ V (которое может быть вообще пусто!). А уж если суммировать надо бесконечное число функций, то запросто может случиться, что все конечные пересечения областей определения непусты, а бесконечное пересечение — пусто (например, пересечение всех полубесконечных интервалов (n,+∞) ⊆ ℝ).

В рассмотренном выше примере мы вынуждены будем рассматривать функцию f(z) = ∑ n^−z (знак минус вводится для удобства: положительная полуось удобнее отрицательно). Этот ряд является простейшим (sic!) рядом Дирихле (ни за что не путайте такие ряды со степенными рядами, также называемыми рядами Тейлора!). Область определения членов ряда (n ≥ 1) — вся числовая ось, но функциональный ряд сходится только при z > 1. В вещественной области добавить к этому описанию особенно нечего, но мы можем рассмотреть аналитическое продолжение членов ряда в комплексную область z ∈ ℂ. Полученный ряд является, пожалуй, самым знаменитым рядом: это дзета-функция Римана ζ(z). Оказывается (кто бы мог подумать), что эта функция аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением злосчастной точки z = 1. Формально это значит, что существует аналитическая функция ζ: ℂ﹨{1} → ℂ такая, что при Re z > 1 её значения можно вычислить, суммируя рассматриваемый ряд.

В этот момент происходит весьма драматическое событие: аналитическая функция на проколотой комплексной площади и сумма функционального ряда начинают жить своими отдельными жизнями. Равенство ζ(z) = ∑ n^−z "ломается" в том смысле, что левая и правая часть равенства — разные объекты. Вся гигантская деятельность вокруг дзета-функции посвящена изучению того, каким свойствами обладает именно аналитическое продолжение, опираясь на знания того, какими свойствами обладает сумма ряда f(z) = ∑ n^−z в области Re z > 1.

Читателю, не знакомому с азами комплексного анализа, подобная программа может показаться хуцпой. В самом деле, формула для дзета-функции ζ(z) "работает" только в области сходимости Re z > 1. Как можно, "закрыв рукой" левую полуплоскость Re z < 1, сказать хоть что-нибудь про поведение дзеты в ненаблюдаемой части?

Ответ кроется в слове "аналитическая функция". Я не хочу сейчас вдаваться в детали определения аналитических функций: это, наверное, одна из самых красивых глав "младшекурсной" математики, к сожалению, крайне скверно объясняемая будущим "технарям". Смысл вот в чём.

Пусть f: U → ℂ — функция, определённая на подмножестве комплексной плоскости U ⊆ ℂ, имеющему непустую внутренность. Аналитичность — локальное свойство функции f, подобное дифференцируемости в точке. Собственно, это и есть дифференцируемость, только понимаемая в комплексном смысле. Аналитичность во внутренней точке a ∈ U означает, что отношение (f(z) − f(a))/(z − a) имеет предел, когда z→ a. Разница в том, что в действительном случае z может стремиться к a только вдоль вещественной прямой, с одной или с другой стороны, а в комплексном случае z может приближаться к a ∈ ℂ по любому направлению. Казалось бы, техническая мелочь, а вот поди ж ты.

Теорема единственности. Пусть f: U → ℂ и g: V → ℂ — две функции, аналитических каждая в своей (открытой) области определения, при этом пересечение U ∩ V непусто и содержит точку a. Если f и g совпадают на любом бесконечном множестве А, содержащим точку a в своём замыкании (например, в бесконечном числе точек, накапливающихся к а), то на самом деле мы имеем дело не с двумя функциями, а всего лишь с одной:  даже если формулы, задающие f на U﹨V и g на V﹨U не имеют ничего общего друг с другом, на пересечении U ∩ V никакого "конфликта" не возникает, f = g.

Именно благодаря этой уникальной теореме мы можем расширять области определения функций за пределами, где формулы, определяющие их, имеют смысл. Техника такого аналитического продолжения разработана не хуже rocket science.

Я хочу закончить сей развёрнутый ответ на туманный вопрос, заданный в предыдущем посте. В каком месте вам "подрезали карман" и столкнули на скользкий путь?


Что значит "просуммировать ряд Гарни"? Эйлер начинал с "безупречного тождества"

(1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + x⁴ −...

но смотрел на него не как младшекурсник смотрит на числовой ряд с параметром x, а как человек, видящий справа и слева два функциональных ряда: алгебраическую (рациональную) функцию и степенной ряд (ряд Тейлора). Это объекты разной природы: функция слева вычислима за конечное число арифметических операций с элементарными функциями (константа 1, тождественная функция f(x) = x, суммирование, деление). Да, с делением проблема: область определения не включает точку x = −1. Но во всех остальных-то точках левая часть прекрасно определена!

Напротив, в правой части стоит функциональный ряд, собранный из мономов. Область определения каждого монома zⁿ — все числа. Более того, вопрос о том, как продолжить каждый из мономов (а значит, и весь ряд) во всю комплексную плоскость, не стои́т от слова "совсем": выражение zⁿ при натуральном n прекрасно имеет смысл, будь z хоть вещественным, хоть комплексным числом (если переменная  всего одна, то и для матриц формула сгодится, вот только две и больше "матричные" переменные коммутировать не обязаны).

В соответствии со сказанным, "безупречное тождество" выше надо понимать так: есть две разных функции: одна f, определённая на проколотой плоскости П = ℂ﹨{−1} как рациональная дробь, другая g, определённая в открытом комплексном диске D = {| z | < 1} ⊆ ℂ, но они совпадают на пересечении областей определения (совпадающем с диском D), а значит, вместе задают одну функцию на объединении D ∪ П = П. "Одна фраза", которую я ожидал услышать от читателей, звучала бы так. Равенство (тождественное) в математике означает совпадение объектов, стоящих по разные стороны знака =. Равенство "по частям" тождественным равенством не является.

Почему мы это не замечаем сразу? Да просто потому, что в случае Гарни сумма степенного ряда (геометрическая прогрессия) "целиком включена" в рациональную функцию f (частное двух полиномов), которая тем самым задаёт аналитическое продолжение степенного ряда в "естественную максимальную область определения".  В общем случае приходится иметь дело с двумя степенными рядами f(z) = ∑ α_n(z − a)ⁿ и g(w) = ∑ β_n(w − b)ⁿ, сходящимися в двух разных кругах U = {| z − а | < 1}, V = {| w − b | < 1} ⊆ ℂ с непустым пересечением. Такая пара сходящихся рядов задаёт аналитическую функцию на объединении двух таких кругов.

Поэтому все "парадоксальные" значения для разных расходящихся рядов, перечисленные в предыдущем посте, "верны", несмотря на всю свою парадоксальность: просто надо их понимать правильно. "Расходящийся числовой ряд" надо воспринимать как "паспорт" некоей аналитической функции  (ахтунг! далеко не всякий числовой ряд является "паспортом" какой-либо аналитической функции, скорее наоборот), у которой есть аналитическое продолжение в какую-то точку комплексной плоскости. Тогда значение этого продолжения в этой точке и естественно принять в качестве суммы расходящегося ряда, какую бы интуицию это не нарушало.

Слово "паспорт" тоже взято в кавычки намеренно. Помимо паспорта, бывают другие документы, удостоверяющие личность, например, водительские права. Точно так же помимо степенных рядов есть другие "естественные" функциональные ряды. Например, ряды вида

f ( z ) = ∑ a_n n^−z,           a_n ∈ ℂ,    n = 1, 2, 3, ...

называются рядами Дирихле и они ведут себя (как функции от z) совершенно не так, как степенные ряды. Скажем, вместо круга сходимости, у них есть полуплоскость сходимости. Но один и тот же числовой ряд может быть представлен и рядом Тейлора (степенным), и рядом Дирихле. Например, наш старый знакомый ряд Гарни 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... есть "сумма" функционального ряда, называемого "η-функция Дирихле", отличающегося от ζ-функции Римана только сменой знака у нечётных коэффициентов:

η( z ) = ∑ a_n n^−z,           a_n = (−1)ⁿ⁻¹ ∈ ℂ,    n = 1, 2, 3, ...

при z = 0. Функции η и ζ связаны между собой простым соотношением η(z) = (1 − 2^1−z) ζ(z), и это даёт значение η(0) = ½. Факт, прямо скажем, примечательный: и на "паспорте", и на "правах" мы видим одно и то же лицо! Совпадение? Не верю™!

Закончим этот крэш-курс философским вопросом: почему аналитическое продолжение "не работает" в мире вещественных чисел, на тесной вещественной числовой прямой? Философский ответ на этот вопрос прост, как круг: на вещественной прямой слишком тесно: если мы всё ещё говорим о функциях, представляемых "по частям" сходящимися (где-то) степенными рядами, то естественная область определения каждого ряда — интервал на прямой. Два интервала имеют непустое пересечение тогда и только тогда, когда их объединение — новый (больший) интервал. В тот момент, когда один из степенных рядов расходится в одной из граничных точек своего интервала сходимости, дальнейшее аналитическое продолжение с "одной стороны" на "другую сторону" невозможен: удаление любой точки с прямой разваливает прямую на два куска, не связанных ничем. В отличие от комплексной плоскости, где удаление одной (или любого конечного числа) точек оставляет возможность аналитического продолжения вдоль цепочек пересекающихся кругов.

Во время написания этого текста ни один исторический источник не пострадал, хотя драма идей, приведших ко всем этим чудесам, поразительна и целиком укладывается в интервал между Декартом (1596–1650) и Коши (1789–1857). Чуть больше 200 лет перевернули в математике буквально всё. Но об этом — отдельный пост.

Comments

[zmeis]

>Что значит "просуммировать ряд Гарни"?
Гранди?

[xaxam]

Разумеется. Я только вчера узнал, как его по батюшке/матушке, путаюсь.