Где вам подрезали карман?

[xaxam]

Математическое блядство

Получасовой видос рассказывает про то, как Эйлер суммировал расходящиеся знакопеременные ряды вида 1ⁿ−2ⁿ+3ⁿ−4ⁿ+⋯, начиная с ряда 1-1+1-1+⋯ (оказывается, у этого ряда есть название, — ряд Гранди, век живи, век учись). Смотреть все полчаса не обязательно. Трюк с рядом Гранди, которому Эйлер приписал сумму ½, — основа основ. Как? элементарно, Ватсон. Берём сходящийся ряд для геометрической прогрессии (1+x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + x⁴ − ⋯ и подставляем в него x = 1. Конечно, это не слишком законно, — единица лежит на самой границе интервала сходимости (−1, +1) для ряда, но ведь леваую часть это совершенно не колышет? К тому же грех невелик, это ж не залезть к барыне в спальню на всю ночь и выпить всю хозяйскую вишнёвку. Это "всего на полшишечки", почти нещитово™. Тем более, что покажи это какому-нибудь физику или экономисту, те вообще не увидят повода к возмущению: очевидно же, что сумма ряда Гранди лежит ровно посередине между нулём и единицей, как и должна была бы.

Watch on YouTube

Дальше — хуже, но какое-то время ещё терпимо. Продифференцировав геометрическую прогрессию почленно (совершенно законная операция на интервале сходимости), можно "просуммировать" ряд 1−2+3−4+5−6+⋯, получив сумму ¼ Если вы боитесь дифференцировать, просто возьмите два "одинаковых" ряда, исходный и тот же самый, только начинающийся с нуля, 0+1−2+3−4+5−6+⋯ (так что сумма не изменится). Сложите их почленно друг с другом. Получите ряд Гранди, сумма которого ½.

А если кто возражать будет, можно ткнуть такого фому в проинтегрированный ряд ln(1+x) = x−½x²+ ⅓x³−¼x⁴+⋯ в который единицу можно подставить уже совершенно легально и получить безупречный и по форме и по сути ответ для суммы знакочередующегося гармонического ряда. Более того, широко известная в узких кругах™ теорема Абеля гласит, что если числовой ряд сходится в граничной точке интервала сходимости, то его сумма таки может быть найдена таким трюкачеством: посмотрите на ряд, полученный разложением дроби (1+x²)⁻¹. Он сходится в обеих граничных точках x=±1 к тому, к чему надо (вопрос "на завал": а почему тогда интервал сходимости нельзя хоть чуть-чуть расширить за эти безобидные границы?)

Хуцпа, однако, не кончается знакопеременными рядами. Любой физик знает™, что сумма натурального ряда 1+2+3+4+5+⋯ равна −1/12 (да-да, непременно со знаком минус!). Надо просто взять натуральный ряд S = 1+2+3+4+5+⋯ и вычесть из него уже известный™ ряд ¼ = 1−2+3−4+5−6+⋯ . Нечётные члены сократятся, чётные удвоятся, значит, S−¼ = 4S. Voilá, распишитесь!

Все понимают, что за подобными "доказательствами" скрывается блядство: где-то делается фундаментальная ошибка, которая тянет за собой (хоть и не обязательно всегда, см. ту же теорему Абеля) массу "несуразицы" . Где эта ошибка?

"Чёткий" матшкольник сразу ткнёт вас носом в очевидный логический пробел. "Обозначив" сумму ряда буквой S (или любой другой буквой), мы продолжаем манипулировать этой буквой как обычным числом по обычным правилам арифметики. Но поскольку сумма числом не является (как сразу же распознает "чёткий" матшкольник), то и правила арифметики "ломаются", в этот момент можно свистеть и звать полицию: найден дымящийся пистолет.

А если "на самом деле"? Не "где" делается ошибка, а "какая"? Вопрос не подвохнутый, а сугубо математический.  Объяснение можно уложить в одну строчку.  

Comments

[professorwhite]

Можно я вопросом на вопрос?

Моя любимая ошибка на эту тему, которую делают через одного и квалифицированные математики "в беседе за чаем" - это написать (мысленно) длинное утверждение с бесконечным количеством кванторов и применить к нему отрицание, меняя кванторы соответствующим образом. И, конечно, они совершенно не имеют в виду то, в чём они в этот момент расписываются (а в чём? =) ).

[xaxam]

Я вообще не соображу, какой смысл можно придать утверждению с бесконечным числом альтернирующих кванторов. Оно же должно зависеть от бесконечного числа независимых переменных? Такие, конечно, бывают...

[zmeis]

Вроде Банах баловался приписыванием всевозможным рядам их "суммы" S так, чтобы сходящиеся ряды сходились куда и раньше, и к тому же эта "сумма" была линейным функционалом. Плюс еще требовалась инвариантность относительно сдвигов: S(0 + a_1 + a_2 + ...) = S(a_1 + a_2 + ...)

Но даже у Банаха не вышло определить сумму натурального ряда, ему нужна была ограниченность последовательности членов.

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_limit

>Не "где" делается ошибка, а "какая"? Вопрос не подвохнутый, а сугубо математический.

Вы имели ввиду такую ошибку: мы предполагаем существование "суммы", а потом ее типа находим. Но кто нам сказал, что она существует?

[xaxam]

Суммированием числовых рядов развлекались все, кому не лень. В основном народ играл с разными схемами усреднения, которые позволяли отодвигать причину расходимости "в бесконечность".

Хотя, конечно, самый могучий метод, - аналитическое продолжение, но его применяют (насколько я знаю) только к функциональным рядам, часто после преобразований типа Лапласа и/или Бореля.

Это, кстати, некий спойлер ответа, который я имел в виду услышать от читателей "ХВ".

>>> Вы имели ввиду такую ошибку: мы предполагаем существование "суммы", а потом ее типа находим. Но кто нам сказал, что она существует?

Это тот (правильный) ответ, который даст "чёткий матшкольник". Пробел в логике. А я имел в виду конкретную "математическую" (ну, метаматематическую) ошибку.

[zmeis]

Хорошо. Тогда попробуем опираться на спойлер. Если мы суммируем с помощью аналитического продолжения,
то нужно вначале убедиться, что оно не зависит от пути, вдоль которого мы продолжаем. Иначе будет неясно
какое из этих значений приписать нашей сумме.
(Еще хорошо, чтобы наш ряд сходился хотя бы в крошечной окрестности нуля, чтобы было что продолжать :) )

[xaxam]

>>> нужно вначале убедиться, что оно не зависит от пути, вдоль которого мы продолжаем. Иначе будет неясно
какое из этих значений приписать нашей сумме.

Локально так бывает всегда, глобально почти всегда случается облом. Многозначные голоморфные функции комплексного переменного - не баг, а фича. Каждый, кто извлекал корень, вам поклянётся мамой.

Re: где вам подрезали...?

[oxta_il]

Мар профессор намекает, что суммма ряда - это предел последовательности частичных сумм?

Re: где вам подрезали...?

[xaxam]

Таки да, "горячо".

[brevi]

Все знают анекдот про «я с этой комбинацией выиграл миллион, а ты меня будешь учить, что 9 — не простое число?». Это я к тому, что подвох подвохом, но, пользуясь такой дырявой логикой, физики могут предсказывать результаты некоторых экспериментальных измерений с точностью до 15 значащих цифр и больше. Поэтому, как говорится, the ball is in the mathematicians’ court — дело за нами придумать логически строгий аппарат.

[(Anonymous)]

Это называется "позвольте мне считать, что дважы два пять, и у меня из печной трубы будут вылетать ведьмы".

[(Anonymous)]

Не блядство, а великая интуиция гения.

Эйлер, "городя дичь", умудрялся получать из этой дичи верные нетривиальные результаты. И почти никогда не "доказывал" что-то неверное, что было невероятно сложно с той математикой, что была при Эйлере.

[mar_shim]

единица лежит на самой границе интервала сходимости — а интервал-то открытый!

[duchifat]

Я бы как почти физик, сказал, что S−¼ = 4S имеет второе решение - бесконечность: ∞ - 1/4 = 4∞

Но вообще, конечно, 1 не входит в интервал, предела у ряда 1-1+1-1+ нет.