Мёртвые души иным манером

[xaxam]

Так чего же в супе не хватало?

В спойлере я уже намекал на то, что простые и милые зверушки, которых мы называем "рациональными числами", достаточны почти для всех нужд. Они позволяют вытворять над собой все арифметические операции, кроме деления на ноль (в этом последнем запрете есть даже некоторая прелесть, о чём при случае можем и поговорить). Кроме того, они позволяют себя друг с другом сравнивать (что по нынешним политкорректным временам совсем не просто). Иными словами, любые два разных числа вступают в отношения "больше-меньше". Но в отличие от натуральных чисел, где отношение больше/меньше тоже всегда определено, рациональные числа нельзя выстроить в очередь по возрастанию, с которой начиналась вся наша история. В самом деле, между любыми двумя разными рациональными числами всегда можно засунуть хотя бы одно число, например, их среднее арифметическое, а значит, и бесконечно много других рациональных чисел. В некотором смысле на множестве рациональных чисел "нету больших дыр": любой интервал содержит бесконечно много рациональных чисел. Чтобы это понять, достаточно взять все рациональные числа со знаменателем n, таким, что 1/n меньше половины длины интервала. Такие рациональные числа образуют "уменьшенную в n раз копию" множества целых чисел, и если мы отметим их все, на наш интервал попадёт как минимум две отмеченных точки, а значит, бесконечно много других рациональных чисел.

Отойдя немного в сторону, заметим, что невозможность выписать все рациональные числа в (бесконечную) строчку по возрастанию не означает невозможности их выписать в бесконечную строчку вообще. Это, казалось бы, противоречит интуиции: с чего начинать? как продолжать? Самый простой способ объяснить это - рассмотреть не все рациональные числа, а только числа между нулём и единицей; к ним сказанные вопросы относятся в полной мере и все трудности уже присутствуют. Давайте начнём с нуля, вслед за ним напишем единицу. Тем самым мы исчерпали все целые числа на рассматриваемом отрезке. Перейдём к рациональным числам со знаменателем 2. Их всего три, два из них уже записаны, оставшееся третье 1/2 занимает почётное третье место. Чисел со знаменателем 3 (ещё не выписанных) - два, 1/3 и 2/3, в таком порядке их и запишем и перейдём к знаменателю 4... Процесс очевидно продолжается без ограничений: дойдя до любого конечного номера, мы выписываем все простые дроби с этим числом в знаменателе, пропуская те, которые уже выписаны были раньше. Их конечное число, и потратив достаточно времени, можно переписать их всех. В получившейся бесконечной строке рано или поздно встретится любое рациональное число от 0 до 1. При помощи похожего трюка (сущность та же, но описание чуть более запутанное) можно переписать все вообще рациональные числа, а не только числа от 0 до 1. В некотором точном смысле это означает, что рациональных чисел не больше, чем натуральных, хотя казалось бы наоборот, - "очевидно же", что большинство дробей нецелые (числитель не делится на знаменатель). Объяснение парадокса состоит в том, что оба набора (множества) чисел бесконечные, а бесконечные множества ведут себя не так, как конечные, и сравнивать их надо по специально обговорённым правилам. В частности, натуральные числа - "самое маленькое" из бесконечных множеств. Рассуждение с выстраиванием рациональных чисел в строй доказывает, что рациональных чисел всё ещё очень немного (позже мы увидим, что это отнюдь не было очевидно заранее).

Чего же нам не хватает в мире рациональных чисел? Как мы уже обсуждали, там не всегда извлекаются корни даже из положительных чисел, и это открытие заставило Пифагора плюнуть на арифметику и целиком уйти в геометрию. Более практичные потомки, понимая, что без арифметики и алгебры далеко не уедешь в прямом смысле слова, плюнули на пифагорейские сантименты и стали пользоваться обозначениями вида без больших угрызений совести: понятно же, что имеется в виду, и никаких разночтений не может быть.

Смущало практичных потомков другое. История с корнем из двух показывает, что между рациональными числами есть дыры. Как же так, удивится кухарка? Разве не написано парой абзацев выше, что между рациональными числами нет дыр? Внимательнее читать надо, гражданочка! Написано, что нет больших дыр. А дырки нулевой длины, как раз, есть, и в такие дырки может провалиться ответ в любой задаче! Попробуем разобраться, что это за дыры и почему они везде. В мире, который мы хотим видеть, должен действовать некий принцип непрерывности. Пусть у нас есть какое-то число (вообразим себе муравья на прямой линии) и отмеченная точка, и предположим, что муравей ползёт к этой точке слева, переползает через неё и в некоторый момент мы видим его справа, по другую сторону от точки. Не нужно быть большого ума, чтобы сообразить, что в некоторый момент наш муравей оказался в точности в отмеченной точке, пусть мы в этот момент и отвели взгляд и не зафиксировали событие. Вот только пример с корнем показывает, что рациональный муравей ползёт от 1 до 2, и квадрат его координаты сначала был 1 (меньше 2), потом стал 4 (больше двух) и при этом ни разу не был равен точно двум. Понятно, что в корне из двух нет ничего особенного: это может случиться где угодно.

Когда чисел не хватает, надо откуда-то брать новые. Мы не будем ждать милостей от природы, а дадим ей сами кучу объектов, которые ведут себя как числа (т.е., допускают арифметические операции, отношения больше-меньше), в этой куче уже находятся все рациональные числа, а кроме того, между такими "числами" не будет дыр, подобных описанным выше. Правда, за такие ценные свойства придётся дорого заплатить: таких "чисел" будет гораздо больше, чем рациональных чисел, при этом "выписать явно" нельзя почти никакое число.

Чтобы объяснить, откуда взять такие "числа", давайте сначала зададимся вопросом, а что такое корень из двух, но с практической точки зрения. Если мы хотим, чтобы с ним можно было выполнять любые арифметические операции, то как минимум надо рассматривать выражения вида с рациональными и как-то ими манипулировать. Нетрудно догадаться, как такие квадратные выражения складывать друг с другом и вычитать. Чуть сложнее сообразить, как их перемножать, но тут помогает раскрытие скобок:

Последнее равенство получается потому, что корень из двух определяется как "число, которое при умножении само на себя даёт 2", т.е., своим уравнением. Тем, кто никогда над этим не задумывался, полезно будет разобраться с делением квадратных выражений. Для этого достаточно записать в указанной "стандартной форме" число , а всё остальное делается уже известным умножением. Подсказка: вычислите, чему равно произведение и может ли оно обращаться в нуль при рациональных a,b.

Играя в эту игру, мы фактически добавили к рациональным числам новый элемент, используя только уравнение, которому он удовлетворяет (и которое не имело решения в рациональном мире). Получившееся "расширенное" множество квадратных чисел снова будет допускать все арифметические операции. А как быть с отношением больше-меньше? Нет ничего проще, ответствуем мы. Чтобы сравнить между собой два квадратных числа, достаточно всего лишь уметь сравнивать с любым рациональным числом (для простоты, будем сравнивать только с положительными числами, в остальных случаях ответ очевиден). Впрочем, ответ очевиден и в этом простейшем случае: мы пишем , если и только если (удивительно, да?). Все остальные сравнения сводятся к данному при помощи арифметических действий и свойств неравенств (надо только помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число "меньше" превращается в "больше" и наоборот).

Кстати, и "мистические" комплексные числа можно добавить, если вместо уравнения рассмотреть уравнение и добавить его корень (корни, их два, и у нас нет способа их различить). Подробности письмом, как говорится.

Понятно, что таким образом можно добавить к рациональным числам все квадратные, кубические и прочие корни. Менее очевидно, что стратегия сработает в более общем случае и что можно добавить корни всех вообще алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (и в самом деле, там возникает серьёзная проблема, как такие корни друг с другом сравнивать,  это не всегда получается). При этом оказывается, что мы добавляем "не очень много": все такие расширенные числовые системы, хоть и бесконечны, но относительно невелики. При этом каждое расширение помогает "залатать дырку" в рациональных числах лишь в конечном числе мест (ну, если считать только "существенно разные" дырки, - так-то понятно, что квадратные числа затыкают бесконечно много иррациональных дырок).

Совершенно неясно, закончились ли на этом наши труды, или всё-таки нет, и часть дырок осталась незаделанной. Строгий ответ на этот вопрос был получен только в 19 веке, хотя подозрения были со времён греков. Речь идёт о задаче квадратуры круга. Если мы рассмотрим единичный круг на плоскости, то мы можем рассмотреть все вписанные в него (скажем, выпуклые) многоугольники и все описанные. Понятно, что площади вписанных многоугольников меньше, чем площадь круга, как ты её не определяй, а площадь всех описанных - больше. Площади многоугольников мы можем считать, стало быть, можно попытаться отыскать число, которое разделяет два множества площадей. Это число, пресловутое , чуть больше трёх и с хорошей точностью равное дроби 22/7, не только не рационально, но и не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Мы же хотим залатать все дырки. Оказывается, игру, описанную выше, можно чуть-чуть подправить, и можно с её помощью "описать" гораздо больше новых чисел. Добавлять будем не корни уравнений, которые не решаются, в рациональных числах, а "решения" систем неравенств, которые тоже по каким-то причинам не имеют решения, типа тех, что возникают в попытке померить площадь круга.

Заметим, что по отношению к любому рациональному числу все остальные рациональные числа распадаются на два множества: тех чисел, которые меньше или равны иксу, и тех, которые больше или равны тому же иксу. Сам икс принадлежит обоим множествам.

Внимание, вопрос. Как задать икс единственным образом при помощи системы неравенств, которым он удовлетворяет? (ну, типа, как по числу написать уравнение, корнем которого оно является)... Ответ дурацкий по своей простоте: надо рассмотреть бесконечную систему двусторонних неравенств , где - всевозможные рациональные числа, принадлежащие множествам соответственно. Понятно, что такая бесконечная система всегда совместна (имеет решение) и оно состоит из единственной точки .

Но это если мы специально "подбирали систему под решение". А что будет, если мы зададим два множества как выше, и зададимся вопросом, когда соответствующая система неравенств будет иметь единственное решение? Есть очевидные ограничения, которым такая пара множеств должна удовлетворять.

Во-первых, оба множества должны быть непусты (не может быть так, что какое-то число больше всех рациональных чисел).

Во-вторых, такая система должна быть совместной: в ней не может быть двусторонних неравенств вида таких, что r < l (такое неравенство не имеет решений, значит, и вся система несовместна). Отсюда, в частности, следует, что пересечение пересечение состоит не больше, чем из одной точки (почему?).

Ну, и наконец, в-третьих, мы хотим, чтобы такая система неравенств определяла бы нам икс единственным образом. Это, в частности, означает, что объединение должно покрывать все рациональные числа.

При выполнении этих трёх условий мы будем называть пару паспортом бесконечной системы неравенств. Почему паспорт? да потому, что паспорт почти единственным образом определяет число, если соответствующая бесконечная система неравенств имеет рациональное решение. "Почти" - если пересечение состоит из единственной рациональной точки икс, то икс может, не нарушая Трёх Правил, быть перенесён из в и обратно или оставлен быть в обоих множествах. (Если кого смущает эта двусмысленность, подумайте о том, что две бесконечных десятичных дроби 0.999999999... и 1.000000000000... мы считаем одним и тем же числом, но об этом чуть позже).

Заметим, что наша бесконечная система на самом деле может иногда быть сильно упрощена. Если состоит из единственного (рационального) числа s, то система сводится к одному тривиальному двустороннему неравенству , не оставляющему никакого выбора. Но вот в случае, когда пересечение пусто, никакой конечной системой неравенств нашу бесконечную систему не заменить, не изменив множества решений.

Итак, мы напечатали ВСЕ паспорта, допустимые в рамках Трёх Правил. Часть из них мы сразу раздали нашим старым знакомым, рациональным числам (даже по три паспорта в одни руки, но это не слишком большая проблема, - мы их и так все в лицо знаем). Остальные паспорта выдавать некому, поэтому мы будем притворяться, что эти "мёртвые души" (на самом деле, никогда не существовавшие) соответствуют каким-то числам. Чтобы это притворство было убедительным, надо объяснить, каким образом можно манипулировать паспортными данными, чтобы складывать, вычитать и перемножать эти "души". Всё сказанное ниже основано на школьных правилах манипулирования с неравенствами.

Проще всего со сложением. Пусть - какие-то два паспорта. Как определить их сумму? Предположим, души были бы живые (рациональные), и звали бы их икс и игрек. Тогда икс удовлетворял бы бесконечной системе неравенств , а игрек - системе . Складывая как попало неравенства из первой системы с неравенствами из второй системы, мы видим, что в левых частях появляются всевозможные суммы вида , а в правых - вида . Значит, нет другого выхода, как выдать сумме паспортов новый паспорт (L,R), в котором L={l'+l'', где l' из L', l'' из L''}, соответственно, R={r'+r'', где r' из R', r'' из R''}.

Как надо понимать эти математические закорючки? (между нами, они-таки сильно сокращают писанину, примерно так же, как алфавитное письмо сокращает рисование картинок при передаче информации). Если мы знаем, что икс больше любой кошки (скажем, тяжелее), а игрек больше любой собаки, то икс плюс игрек больше любого сочетания кошки с собакой, и то же разумей относительно ограничения сверху.

Что надо сделать, понявши? О, довольно много. Надо проверить, что новый паспорт - легальный, т.е., удовлетворяет Трём Правилам. Правила несложные, способ, каким мы выписали новый паспорт, тоже не больно то замысловатый, скажем прямо. Тем не менее контора пишет, и надо всё проверять. К счастью, достаточно сделать это один раз, и совершенно не надо мучить подробным рассказом об этой проверке всех студиозусов. Проверено, работает.

Дальше - больше. Надо определять умножение паспортов. В этом месте нас подстерегает засада: при умножении на отрицательное (рациональное) число неравенства меняют смысл ("направленное"). Поэтому проще начать с того, чтобы определить умножение положительных паспортов. Но для этого надо сначала договориться, что такое положительный паспорт, а для этого надо научиться сравнивать разные паспорта друг с другом.

Что значит, что икс меньше игрека? это означает, что при переходе от икса к игреку список тех чисел, которые меньше икса, увеличивается, а список чисел, которые больше икса, при переходе к игреку уменьшается (кухарки, напрягитесь и подумайте, что произойдёт с вашим списком покупок, если цены на какой-то товар повысились). Хотелось бы взять это свойство за определение "меньше" для паспортов. Идея плодотворная, хотя и небеспроблемная (напомним, что у наших рациональных друзей по три паспорта на руках, так что при желании каждый из них может оказаться больше самого себя, или, наоборот, меньше. Но поскольку мы знаем их всех в лицо, простим им эти милые игры). Для паспортов, оставшихся нерозданными в рациональные руки, правило годится и не может привести ни к какому недоразумению (это ещё одно утверждение, которое надо бы проверить, но мы поверим ведь, да?).

Дальше должна была быть сага о том, как определять умножение и деление, и почему эти свойства, определённые по-новому, для рациональных "живых" чисел приводят к прежним знакомым результатам, почему свойства неравенств не поменялись, почему ... ... ... Опустим завесу жалости над этой картиной. Кухарка не поймёт, чем ей голову морочат, а математик с уровнем культуры первый курс +, должен легко восстановить все детали.

Всё, перестаем притворяться и будем называть невыданные паспорта "числами". Точнее, "вещественными"/"действительными" числами (питерские супротив московских встают в боевую позицию). Что мы заработали в поте лица?

Ответ: непрерывную числовую систему, в которой невозможны неприятные сюрпризы типа дырок между числами, куда может провалиться ответ. Что это значит, Шахерезада попытается объяснить следующей ночью.

П.С. Необъяснимым образом, математические формулы в ЖЖ плохо пропечатываются. Желающие да не побрезгуют оригиналом в Дриме, где вроде бы лучше получается.

Я изо всех сил стараюсь избегать закорючек, но иногда не хватает терпения. Звиняйте, дорогие кухаркес и билдерс ;-)

Comments

[panikowsky]

Некоторые формулы (представленные в виде картинок) пропали. Например, в предложении " мы пишем , если и только если (удивительно, да?)." явно были какие-то выражения ("мы пишем что?"; "если и только если что?"), но их не видно.

[xaxam]

Кажется, если подождать, то появляются, если не в ЖЖ, то на дриме. Это старый глюк, с которым я не умею бороться.

[panikowsky]

А если в PDF?

[xaxam]

Эхма, придётся вспоминать, как писать в ЛаТеХе по-русски... Выпали мы из дедовской сла...

Кроме того, много ли будет кликунов на внешний линк? что им Федора и её горе?

[epimorphisms_split]

Я когда-то надыбал простое решение для русского и иврита. Это для xelatex.

\documentclass[12pt]{article}
\TeXXeTstate=1
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\setsansfont{Linux Biolinum O}
\setdefaultlanguage{english}
\setotherlanguages{russian,hebrew}
\usepackage{bidi}

Дальше пишем в любом редакторе, который умеет UTF-8, и горя не знаем.

Если статья по-русски, то естественно поставить \setdefaultlanguage{russian}.

Ивритские пассажи нужно выделять \begin{hebrew} и \end{hebrew} (пока не знаю, можно ли от этого избавиться).

[victor_chapaev]

Как и в ЖЖ половины формул не видно

[xaxam]

Секретарши накосячили, видать. Увы, более лучшего™ варианта, совместимого с ЖЖ-платформой, до сих пор никто не предложил.

[epimorphisms_split]

Платформа не виновата, у Вас ссылки на некоторые картинки неправильно отформатированы.

Едит: Собственно говоря, кажется, на все вообще, но некоторые работают несмотря на. Если хотите, я Вам это дело поправлю.

[nechaman]

Да, ссылки на картинки не в порядке. Жалко, без них не очень понятно кухарке...