Jedem das Seine

[xaxam]

Vox Populi, отзовись!

Какое практическое применение интеграла? Ну вот, скажем, как-то у меня наручные часы упали в унитаз. Ну я, будучи математиком, не растерялся, а взял проволоку, выгнул ее в форме интеграла и достал часы. Так-то! Приписывается Фурсенке

Дорогие читатели "ХВ"! Интересно было бы узнать ваше мнение относительно того, чему надо учить в школе на уроках математики. Понятно, что вопрос в такой общности малоосмыслен. Но предположим, что мы выделяем три уровня школьников:

1. Будущие "технари", которые потом будут учить инженерные науки (условный хай-тек) или, не дай бог, математику с физикой;
2. Будущие "профессионалы", - медики, биологи, социологи, менеджеры в соответствующих областях;
3. Будущие условные гуманитарии и приравненные к ним труженики от сохи,  токарного станка и строительных лесов.

Наверное, никто не будет спорить с тем, что знание таблицы умножения, понимание того, что такое треугольник, как меряют длины, площади, объёмы и углы - минимум, необходимый всем. Вопрос - оглядываясь на собственный жизненный опыт, чему кого надо учить дальше?

К примеру, - кого нужно учить формуле для корней квадратного уравнения? Кто должен знать, что такое синус, и почему синус суммы не равен сумме синусов? Где проходит та грань, за которой надо знать, что такое простое число? симметричная фигура?

Никого не желая дискриминировать, хотел бы прежде всего услышать мнение людей с опытом работы в категориях 2 и 3.

Upd. Что такое математика, - этим вопросом задавались многие. Для первой категории школьников ответ (по порядку величины) неплохо описан в одноимённой легендарной книге, бывшей настольной для нескольких поколений математиков.

Для "профессионалов" и "гуманитариев" ответ можно, наверное, получить путём тщательного отбора тем из перечисленных в книге и правильным уровнем изложения.

P.S. Чтобы не быть голословным, изложу (стоя на одной ноге, как завещано мудрецами) собственное мнение по первой категории.

Из существующей программы (какой страны? а х.з.) для высшего уровня я волком бы выгрыз:
- Все уравнения (иррациональные, тригонометрические, логарифмические, ...). Уравнения с параметром выжиг бы огнемётом с последующей дезинфекцией местности хлорной известью.
- Все задачи "на решение треугольников": исходные данные жёстко определяют конструкцию, требуется вычислить какой-то элемент этой конструкции.
- (со слезами на глазах) Всю стереометрию.
- (с минимальными сожалениями) Всю ерунду про исследование функций на экстремум при помощи производных, кроме самых базисных теорем.

Что бы я добавил на освободившееся место?
- базисные понятия о дифференциальных уравнениях и идеологически правильное объяснение того, что такое логарифм и экспонента;
- вернул бы, возможно, после сильной переработки, геометрические построения (в основном циркулем и линейкой, но и не только; существенно понимать, какие параметры геометрической конструкции определяют её жестко, а какие оставляют степень свободы). Именно в таком контексте только и можно понять, что такое "геометрическая теорема".
- теорвер (отдельный предмет для разговора),
- системы линейных у полиномиальных уравнений.
- ряды Тейлора и Фурье (сколько уж их там влезет)
- Симметрия в алгебре и геометрии.

Попытку сочинить программу для менее продвинутых я уже предпринимал пару лет назад.

Comments

[(Anonymous)]

кмк тригонометрия must have для всех.
как измерить высоту пригорка, зная расстояние до него.

[xaxam]

Это не столько тригонометрия, сколько подобие треугольников (куда как более простая тема).

[(Anonymous)]

я бы еще про геометрические инварианты бы рассказал и компьютерное зрение.
но как рассказать про проективные дифференциальные инварианты школьникам и их связь с задачами распознавания образов? будет ли интересно им увидеть, что как не переворачивай ананас, его изображение на плоскости инвариантов останется прежним и может быть распознано компьютером?
если это сделать красиво и с соответствующим программным обеспечением, то будет ли это интересно гуманитариям? ведь это наглядная демонстрация могущества математики.

[nechaman]

А по моему, нет необходимости впихавать знания насильно. Кто не хочет знать, что Рим это столица Парижа или наоборот - пусть не знает.
Необходимость измерять высоту пригорка а таже находить на небе Большую Медведицу возникает по жизни не у всех и не особо часто. И даже без таблицы умножения можно обойтись, когда в каждом телефоне есть арифмометр. То ли дело в нашей юности, где приходилось для точных вычислений крутить эту чертову ручку! А сколько часов страсти мы проводили над логарифмическими линейками! Кто теперь о них помнит вообще.
Но, если кто-то без ума от тушканчиков, или спит и видит как ставить химические опыты или обожает загадки и задачки, пусть его решает, и мы даже поможем ему синусами и хордами. Как-то так.

Конечно, было бы обидно узнать в какой-то момент, что ты не сможешь стать инженером и строить мосты и корабли, так как про синусы в детстве не узнал. Но, вообще говоря, это же можно восполнить и выучить довольно быстро, если страсть к ним разгорелась :)

Вот, чтобы стать музыкантом надо с детства играть часами каждый день. В двадцать лет, уже поздновато начинать.

[posic.livejournal.com]

Золотые слова. Совершенно согласен с вами.

Давно хотел высказаться на эту тему

[malobukov]

Для категории 2, к которой принадлежу.

Мне в целом нравится классический подход к изучению математики (арифметика, потом алгебра и геометрия, потом начала анализа) как было в средней советской школе, но с несколькими изменениями:

• Построения с циркулем и линейкой можно выкинуть. Вот ни разу мне не пришлось что-то таким образом строить.
  
• В геометрии вообще можно много пропустить, ортоцентр, cтепень точки относительно окружности, многие доказательства от аксиом. Время в классе ограничено, а у меня ниже будет прилично нового материала, так что чем-то придётся жертвовать.
  
• Я уже не помню, были ли в программе комплексные числа (сейчас есть), так вот они нафиг не нужны. Кому потом надо будет по работе преобразование Фурье делать, тот пусть и разбирается.
  
• Зато нужно добавить системы счисления в базе, отличной от 10. С объяснением на примерах, чем они лучше или хуже (умножение по методу русских крестьян, извлечение корня в двоичной системе, счёт на пальцах до 1024).
  
• Очень важно добавить базовый теорвер. Весь целиком он разумеется в школьную программу не влезет, но нужно по крайней мере ввести нормальное определение вероятности (а не events/trials), теорему Байеса, показать Монте-Карло и бутстрап. Это конкретно нужно практически постоянно, и не только по работе. Человек должен понимать, почему половина исследований британских учёных - фигня на постном масле.
  
• Главная идея - нельзя ничего вводить без объяснения. Не нужно зазубривать алгоритм умножения в столбик без понимания того, как он работает. Не нужно зазубривать формулу корней квадратного уравнения, нужно понять, откуда она берётся, как выглядит график квадратной параболы, где на нём корни, почему их не может быть три и так далее.
  
• Но тут важно не переусердствовать. Не нужно лезть в теорию чисел и аксиомы Пеано. Ни разу это не пригодилось.
  
• Анализ размерности. Математики им пренебрегают, а зря. На практике очень полезный метод, надо нарабатывать привычку им пользоваться постоянно. Не только не складывать людей и лошадей, а например доказать теорему Пифагора без загибания углов квадратной салфетки.
  

Re: Давно хотел высказаться на эту тему

[ymarkov]

Вот! Вот! Именно!

Согласен почти со всем (сам бухгалтер), особенно про теорвер. Однако какие-то построения я бы оставил из соображений моторики. Писать от руки, рисовать, чертить – всё это, ИМХО, важно для развития мозга, особенно в раннем возрасте. Как тут один умный человек сказал в ответ на вопрос ученика "на кой мне это понадобится?": "Именно это, может, и не понадобится. А вот соединения нейронных цепей в твоём мозгу, которые вырабатываются этими занятиями, тебе пригодятся всю жизнь."

Тут двояко

[malobukov]

"Рисовать и чертить" раскладывается на два навыка. Есть трёхмерная геометрия, изометрическая проекция и прочий raytracing, что в принципе можно донести по крайней мере до некоторых школьников после тригонометрии на плоскости и линейной алгебры, но чтоб найти на это время, придётся пожертвовать приличным количеством другого ещё более важного материала. А есть рисование, где пропорции на глаз, перспектива и тени "как на картине Рембрандта". Это действительно нужно, просто другой класс, не математика.

Я говорил про задачи типа "в заданном произвольном треугольнике найти ортоцентр с помощью циркуля и линейки". Это менее полезно, чем "нарисовать от руки эскиз вот этой кружки".

Re: Давно хотел высказаться на эту тему

[cohenj]

>> соединения нейронных цепей в твоём мозгу, которые вырабатываются этими занятиями, тебе пригодятся всю жизнь. <<
Отличный аргумент

Re: Давно хотел высказаться на эту тему

[xaxam]

У меня очень похожая точка зрения. Немножко по пунктам:

- Я бы выбросил построения циркулем и линейкой, но оставил обсуждение вопросов о том, какие элементы геометрической фигуры (конструкции) определяют её однозначно, а какие оставляют степень свободы. Условно, стороны треугольника его определяют однозначно, а четырёхугольника - нет. Тут можно поставить хорошую ловушку для потенциального "технаря": эффективно восстановить фигуру, или (в тех случаях, когда фигура восстанавливается не однозначно) понять, что иногда тем не менее некоторые её свойства оказываются фиксированными (см. знаменитую "задачу о бабочке").

- насчёт комплексных чисел и двоичной записи я не уверен: интересно было бы услышать вашу аргументацию.

- Базовый теорвер - несомненно, но это tall challenge. Ключевое понятие - независимость событий, - недоступно пониманию почти всех учителей, которые не отличают зависимость от каузальности. ЦПТ (с пояснениями разной степени глубины) непременно надо рассказывать школьникам с массой примеров.

- Насчёт объяснений - само собой. Факт, сообщаемый как fiat, забудется, или хуже того, с прямым углом спутается. А если объяснение было понято, оно осядет и при нужде вспомнится...

- Про теорему Пифагора, - видели ли вы эту заметку Саши Гивенталя?

По пунктам

[malobukov]

> какие элементы геометрической фигуры (конструкции) определяют её однозначно, а какие оставляют степень свободы.

Это важно, да. Я не против геометрии вообще, просто не вся геометрия одинаково полезна. Треугольники и тригонометрия встречаются на каждом углу, а вот например

> см. знаменитую "задачу о бабочке"

либо вообще не знал, либо знал так давно, что уже забыл. Не пригодилось.

> насчёт комплексных чисел и двоичной записи я не уверен: интересно было бы услышать вашу аргументацию.

Двоичная система счисления встречается сплошь и рядом. Шестнадцатеричная тоже. Полезно знать, что такое бит и байт, почему компьютеры не работают в десятичной системе (потому что им лень запоминать большую таблицу умножения) и почему человек может точно посчитать 0.3+0.7, а компьютер - не всегда. Но ещё более важно понимать, что число десять в десятичной системе счисления взято с потолка. Это один из первых примеров абстрактного мышления, когда понятие, которое казалось незыблемым, вдруг оказывается зыблемым.

Комплексные числа я в прямом виде не использовал на практике вообще ни разу. Вот я сейчас попытался вспомнить хотя бы один случай, когда у меня в документации или в коде были комплексные числа, и вспомнил только один. Там на самом деле были реальные числа, координаты x и y, просто я использовал тип complex и запихивал их в вещественную и мнимую часть, чтоб код короче был.

Ещё пользовался БПФ часто, формально там комплексные числа есть, на практике мнимая часть всегда ноль. Да, наверное полезно знать, но это уже специальное знание. Не всем школьникам придётся делать БПФ.

> видели ли вы эту заметку Саши Гивенталя?

Конкретно эту заметку не видел, но имел в виду то же самое доказательство. Площадь измеряется в квадратных метрах, длина гипотенузы - в метрах, площадь прямоугольного треугольника зависит только от длины гипотенузы и одного из углов, опускаем высоту из прямого угла и так далее.

Вот этот навык думать о масштабировании, он очень полезен. Почему у муравья ноги тонкие, а у слона - толстые, почему сахар не взрывается, а сахарная пудра - может и так далее.

[leo_sosnine]

площадь криволинейной трапеции считать, больше ни для чего в реале не был нужен, но это одно компенсирует имхо

[cjelli]

Комбинаторика и теорвер нужны ВСЕМ обязательно. Хотя бы для того, чтобы вдалбливать людям, какие у них шансы в лотереях и спортивных ставках, на бирже и за покерным столом и т.д.

[xaxam]

Принято, но с оговорками. Всякие урновые схемы, которыми мучают школьников, не особенно полезны, а вывод центральных предельных теорем требует довольно продвинутого анализа. Надо искать какой-то компромисс.

[cjelli]

Может быть, просто учить покер?

Кроме этого, можно сделать книги Эм. Александровой и А. Левшина учебниками.

[xaxam]

Как-то эти книжки прошли мимо меня (хотя что-то слышал про них), ничего не могу сказать.

[cjelli]

А я на них, можно сказать, вырос, особенно на "Искателях Необычайных Автографов".

Численными методами

[malobukov]

Классический теорвер требует анализа, но не обязательно изучать классический теорвер сначала. Можно срезать угол и показать интересные результаты тупо в Экселе или таблицах Гуглдокса. Наполняем одну колонку случайными числами (для этого есть встроенные функции), в соседние колонки пишем нужные формулы, усредняем, получаем ответ плюс-минус лапоть. Заодно появится представление о том, как быстро оно сходиться будет (если строк две тысячи или десять тысяч).

Я подобным рабоче-крестьянским образом постоянно проверяю теоретические выкладки, чтоб найти ошибки в продвинутом анализе, который у меня местами продвинут косо.

[(Anonymous)]

Может звучит, как какая-то благоглупость, но я за то, чтобы в школе на уроках математики больше времени уделяли различным концепциям и идеям и меньше натаскиванию на решение каких-то типовых и не очень задач. Те же уравнения с параметром вспомнить, сколько я их перерешал, когда к экзамену готовился, пустая же работа совершенно, лучше бы Овидия долбил, мог бы теперь цитатами на латыни щеголять при случае. Про какую-то конкретную программу не скажу, но я за любую движуху, когда она не вырождается в бездумный ритуал.

Учился в обычной районной школе, работаю сейчас программистом.

[xaxam]

>>> больше времени уделяли различным концепциям и идеям и меньше натаскиванию на решение каких-то типовых и не очень задач.

Безусловно, и это главным образом относится к "троешникам", которым такие задачи точно не придётся решать. Но и отличников долбили бессмысленными вещами, - те же формулы преобразования для тригонометрических функций...

Уравнения в школе - отдельная тема. Больше половины школьной математики так или иначе нацелена на решение уравнений (иррациональных, тригонометрических, логарифмических, ...). В результате возникает ощущение, что уравнения решаются. На самом деле решаются только специально подстроенные уравнения, а "случайное" уравнение скорее всего не решится, кроме того, в явной формуле для решения уравнения (скажем, по формуле Кардано) нет никакого смысла.

То, что школьная математика выродилась в то, чем она является сегодня, - неудивительно, это проявление закона Гудхарта.

формула Кардано

[cohenj]

>> в явной формуле для решения уравнения (скажем, по формуле Кардано) нет никакого смысла<<
Ошибка. Для уравнений 3 или 4 степени (что требуется в нек-рых ситуациях маломерной геометрии) менее хлопотно написать програмку по формуле, чем любой другой метод (даже если он очень точно приближает за пару итераций)

Re: формула Кардано

[xaxam]

Мы о ком говорим? Всё ещё о троечниках, или уже об "отличниках"-технарях? Про програмку, кстати, я совсем не уверен: в случае, когда все три корня вещественны, придётся вводить переменную комплексного типа, о чём не подумают как минимум половина желающих избежать хлопот.

[arstmas]

вступительная задача куда-нибудь. в мгимо наверное:
что, как и с какой интесинвностью делал фурсенко в туалете, если в результате его наручные часы оказались в унитазе?