xaxam | Фронтовой косинус и бытовой синус

Закрывая гештальт и просветительский сезон

Скорее всего, это уже никому и не нужно, но всё же надо довести до конца начатое месяц назад. Если кто ещё помнит, мы пытались обзавестись новыми функциями, помимо полиномов и рациональных дробей, и оказалось, что наиболее естественный способ сделать это - добавить решения дифференциальных уравнений. Таким образом мы обнаружили натуральный логарифм $y=\ln x$ , определяемый уравнением $y^\prime=\tfrac1x$ , и обратную функцию, $y=\mathrm e^x$ , заданную дифференциальным уравнением $y^\prime=y$ (плюс соответствующие начальные условия). Оказалось, чертовски полезные функции, а если кому-то захотелось составить таблицы, то очень прилично сходящийся ряд $\mathrm e^x=1+x+\tfrac1{2!}x^2+\cdots+\tfrac1{n!}x^n+\cdots$ решит ваши проблемы.

Но ведь меня учили, что $\mathrm e=2.718281828\dots=\mathrm e^1$ есть предел $\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac1n)^n$ возопит иной свежий выпускник? Как это связано с факториалами?

Как приближённо решать дифференциальные уравнения?

Отвечаем на понятном языке дорожной полиции. Вводная: вы - водитель машины, едущей по вещественной оси. Величина $y$ - ваше текущее положение, $x$ - время от начала движения. Закон движения "скорость численно равна текущему положению", старт - в момент $x=0$ в точке $y=1$ , финиш - в момент $x=1$ . Поехали!

Начальная скорость равна единице, но, как только мы отъехали вправо, она увеличивается. Чтобы не смотреть всё время на спидометр, давайте разделим время движения (единичный интервал) на сто частей и договоримся, что на каждом таком коротком отрезке времени скорость будет поддерживаться постоянной. Итак, 1/100 (минуты?) мы проехали со скоростью 1 (км/мин), уехав за это время на 1/100 (км) и оказавшись в точке (1+1/100). В этот момент пора увеличивать скорость до (1+1/100): с такой скоростью за 1/100 минуты мы проедем $(1+1/100)\tfrac1{100}$ от предыдущей отметки (1+1/100), т.е., окажемся в точке $(1+1/100)(1+1/100)=(1+1/100)^2$ . Ещё раз увеличим скорость до $(1+1/100)^2$ и через 1/100 окажемся в точке $(1+1/100)^3$ . Очевидно, что через 100 подобных шагов мы окажемся в точке с координатами $(1+1/100)^{100}$ . Теперь понятно, что будет, если заменить сто на тысячу?

На самом деле мы только что "открыли" способ численного решения дифференциальных уравнений (на конкретном примере), который называется "методом ломаных Эйлера". Физически он очень прост: мы заменяем непрерывное время дискретным (конечное число точек измерения), а производные, участвующие в уравнениях - конечными разностями. В пределе всё должно сойтись куда надо. Однако беда в том, что при таком подходе ошибки имеют тенденцию накапливаться, поэтому для получения убедительных ответов надо на оооочень маленькие интервалы разбивать. Конечно, положение можно спасти, если производные заменять не банальными разностями, а чем-то более изысканным, но в целом метод так себе, на безрыбье.

Всё меняется, если мы умеем интегрировать.

Возьмём то же самое уравнение $y^\prime (x)=y,\ y(0)=1$ , и проинтегрируем обе части от нуля до (переменной верхней границы) $z$ . Получим соотношение $y(z)=1+\int_0^z y(x)\,\mathrm dx$ . Полученное уравнение не содержит производных, но зато использует знак интеграла, поэтому должно называться Интегральным Уравнением. Как же его решать?

Обратите внимание, что в правой части написано выражение, которое превращает функцию $y(x)$ (заданную на отрезке [0,1]) в новую функцию, определённую при помощи арифметических операций и антидифференцирования. Такое выражение, превращающее одни функции в другие, называется оператором, чтобы от различных "функций" не рябило в глазах, поскольку оператор - это функция, определённая на функциях! ;-) Если обозначить этот оператор буквой $\Phi$ , то наше Интегральное Уравнение запишется совсем прелестно, $y=\Phi(y)$ . Иными словами, мы ищем функцию, которую наш оператор не меняет (переводит саму в себя).

Для поиска таких функций есть совершенно универсальный принцип. Попробуем "угадать решение" и выбрать в качестве начального приближения какую-то простую функцию $f(x)$ . Вычислим $\Phi(f)=f_1$ . Если мы угадали, то $f_1=f$ , но в реальной жизни угадать счастливый билет трудно. Но давайте сделаем следующую попытку и посмотрим на $f_2=\Phi(f_1)$ . Если мы не угадали с первого раза, то и вторая попытка обречена. Но, в отличие от лотереи, настойчивость может принести плоды. Рассмотрим бесконечную последовательность итераций, $f_{n+1}=\Phi(f_n), \ n=0,1,2,3,\dots$ . "Нетрудно видеть" (за подобной фразой скрывается несложная математическая теорема), что если у такой последовательности функций есть предел $f_*=\lim_{n\to\infty}f_n$ , то он-то и будет "неподвижной функцией", решением уравнения $y=\Phi(y)$ .

С чего бы у такой последовательности быть пределу? Да ни с чего. Например, уравнение $y^\prime=y$ можно тоже написать в такой форме, если обозначить оператор взятия производной через $\Psi$ . Уравнение $\Psi(y)=y$ можно начать решать с какого-нибудь полинома $f(x)$ , но после некоторого количества дифференцирований полином превратится в тождественный ноль. Конечно, он удовлетворяет нашему уравнению, но мы-то искали нетривиальные решения? Если мы начнём с начального приближения $f(x)=\tfrac1x$ , то никакой сходимости не будет вообще...

Однако ж не будем впадать в уныние и посмотрим, что будет с оператором $\Phi$ , антипроизводной, определённой выше. Начнём с начального приближения $f(x)\equiv1$ . Подставляя его в интеграл $\Phi(1)=1+\int_0^z 1\mathrm dx=1+z$ , получаем, вернувшись к исходному обозначению для независимой переменной, $\Phi(1)=1+x$ . Следующая итерация даст нам функцию $f_2(x) =\Phi(1+x)=1+x+\tfrac12x^2,\ f_3(x)=\Phi(1+x+\tfrac12x^2)=1+x+\tfrac12x^2+\tfrac1{2\cdot 3}x^3$ , и т.д.: $f_n(x)=\sum_{k=0}^n \tfrac1{k!}x^k$ . Такая последовательность функций, как нетрудно видеть, сходится на всём интервале [0,1] очень быстро (называется это дело приближениями Пикара).

Такое положение связано не с конкретным примером, а с общими свойствами дифференцирования и антидифференцирования (интегрирования), рассматриваемыми, как операторы (функции, определённые на функциях). И тот, и другой оператор - линейные, но на этом сходство кончается. Как мы уже знаем, дифференциальный оператор легко вычисляется (по крайней мере, на элементарных функциях). Но за это он сильно "портит" эти функции (за исключением многочленов, - тех дифференцирование просто убивает со временем ;-). Слову "портить" можно придать вполне точный смысл, но это уж слишком далеко бы нас завело. И напротив, "проинтегрировать" в конечном виде функции (даже элементарные) удаётся очень редко, однако же сама операция интегрирования весьма хороша как способ приведения в порядок. В частности, интегральный оператор похож на сжатие, - "расстояние" между функциями $\Phi(f)$ и $\Phi(g)$ меньше, чем "расстояние" между исходными функциями $f$ и $g$ (конечно, надо договориться, как и между какими функциями мы мерим расстояние). Такая вот загогулина ©, подальше положишь - поближе возьмёшь.

А где же обещанные синусы?

Усложним немного наше уравнение и рассмотрим $y^\prime=ay$ . Надо ли для такого уравнения всю теорию строить заново? Разумеется, нет: если вместо переменной $x$ (спрятавшейся за значком производной так, что её совсем не видно) ввести переменную $X=ax$ , то уравнение примет вид $y^\prime = y$ , если считать, что штрих теперь означат производную по $X$ . Значит, и решение будет иметь вид $y=c\mathrm e^{X}=c\mathrm e^{ax}=\sum_{k=0}^\infty \tfrac1{k!}a^k x^k$ .

Мы уже хвалили степенные ряды за целый ряд замечательных качеств, роднящих их с многочленами. Точно так же, как в многочлен можно вместо аргумента подставить что угодно, что можно складывать и умножать (например, комплексные числа или матрицы), так же и в степенной ряд можно вместо вещественных значений икса подставлять комплексные значения и получать комплексные игреки (попробуйте-ка исходя из геометрического определения синуса через треугольники вывести, чему равен $\sin(1+\mathrm i)$ !). A в случае с дифференциальным уравнением $y^\prime =ay$ мы вполне можем разрешить игреку бегать не по вещественной прямой, а по комплексной плоскости.

Физическая интерпретация остаётся той же самой: вы за рулём машины, начинаете движение в момент $x=0$ из какой-то начальной точки $y(0)=c\in\mathbb C$ , и если вы в данный момент находитесь в точке $y\in\mathbb C$ , то ваша скорость должна быть $ay$ .

Если коэффициент a вещественный, то два комплексных числа $y$ и $ay$ направлены вдоль одной прямой (сонаправлены, если а положительно, антинаправлены, если а отрицательно, случай нулевого а неинтересен, - никто никуда не едет). Это значит, что стартовав в любой точке, кроме начала координат, вы будете ехать вдоль луча, связывающего начало координат с начальным положением, удаляясь или приближаясь к началу координат в зависимости от знака а.

А что будет, если мы разрешим невещественные значения а? Например, посмотрим, что будет, если $a=\mathrm i$ ("мнимая единица). Как (надеюсь) известно читателям, перемножение комплексных чисел описывается простыми формулами, в частности, $\mathrm iy$ получается из числа y вращением на 90 градусов (четверть полного оборота, он уже угол $\tfrac\pi2$ ). Иными словами, при таком выборе а ваша скорость всегда направлена перпендикулярно радиус-вектору и равна ему по абсолютной величине. Это - самое простое описание движения по кругу (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания)! Если вы начинали в точке на единичном расстоянии от начала координат, то и движение будет продолжаться вдоль единичной окружности с единичной скоростью. Итак, решением уравнения $y^\prime=\mathrm y$ с начальным условием $y(0)=1$ является движение по единичной окружности с единичной скоростью: в момент $x$ вы будете в точке $y(x)=\cos x+\mathrm i\sin x$ , где $x$ есть длина проеденной дуги (т.е., радианная мера угла). С другой стороны, нам известно уже, что $y(x)=1\cdot\mathrm e^{\mathrm x}$ (имеется в виду решение, заданное бесконечным рядом). Вот вам и весь сказ про формулу Эйлера: геометрическая интерпретация дифференциального уравнения описывает решение в привычных терминах кругов и касательных, а аналитическая формула для решения позволяет (отделяя друг от друга действительную и мнимую части ряда для мнимой экспоненты) получить задаром бесконечные ряды, по которым можно с любой точностью считать синусы и косинусы (их можно вычислить из геометрических соображений лишь для очень немногих углов, и это будут ужасные радикалы).

Теперь, наконец, можно раскрыть глаза человечеству на то, что же такое последнее из великих чисел, $\pi$ , есть на самом деле. Напомню: когда-то давным давно мы начинали с целых чисел, из которых для нас главнейшими являются 0 и 1. Потом мы добавили много чего, в частности, разные корни, среди них парочку $\pm \mathrm i$ корней квадратного уравнения $x^2+1=0$ . А по прошествии ещё какого-то времени мы познали дифференциальные уравнения, из которых важнейшим является уравнение $y^\prime-y=0$ . Заметьте: в написании уравнений участвуют только ноль и единица, ничего больше! И тут вдруг оказывается, что решение нашего дифференциального уравнения, обозначаемое $y(x)=\mathrm e^x$ (и задаваемое степенным рядом для всех комплексных значений икса), такое милое и монотонное на вещественной прямой, оказывается периодической функцией комплексного переменного: существует такое число $T$ , что $\mathrm e^{x+T}=\mathrm e^x$ при всех иксах. А не видим мы этой периодичности, потому что период этот, число $T$ , оказался чисто мнимым числом: $T=2\pi\mathrm i$ . Причина появления двойки, конечно, - исторически досадное недоразумение, все математические формулы стали бы только проще, если б у нас был специальный значок

для числа $2\pi$ . TeX позволяет такое вот художество, если кто всерьёз воспримет идею: $\pi\mskip -7.8 mu \pi$ .

Немного отравы на десерт

Усмотреть периодичность синуса непосредственно из бесконечного ряда для него, дистиллированного из формулы Эйлера, непросто, а она-таки важна. Подумайте, что было бы, если бы надо было на карманном калькуляторе вычислить значение, скажем, $\sin100$ . Ряд, конечно, сходится, но по дороге пришлось бы работать с числами порядка $100^{100}/100!$ (прикиньте, влезло бы такое число в разрядную сетку калькулятора, и какая абсолютная ошибка образовалась бы при округлении). Однако ж, несмотря на столь здоровенные слагаемые посередине, если мы учтём все "хвосты", мистическим образом окажется, что все громадные числа сократятся друг с другом, а правильный ответ окажется на интервале от минус единицы до единицы. Разумеется, никто не считает синус ста "в лоб" (ошибки округления убьют ответ насмерть): пользуясь периодичностью, достаточно свести задачу к вычислению синуса на отрезке от нуля до $\pi$ , а на нём-то ряд сходится молниеносно. Это к тому, что разница между многочленами (которые не бывают периодическими) и бесконечными рядами ого-го какая, как бы ни хотелось сделать вид, что они близкие родственники.