Произведнём-ка что-нибудь?
Как читатель, надеюсь, усвоил из предыдущего урока,
"линейные" (аффинные) функции чудо как хороши, что от одной переменной, что от нескольких, но нелинейные функции иногда (пока не понятно, когда) можно попытаться приближать в окрестности разных точек "линеаризацией", линейной функцией, которая вблизи данной точки хорошо приближает данную. Хорошо б разобраться, когда такое возможно, и постараться разработать технологию такого приближения, чтоб не надо было всё время таскать с собой микроскоп.
Начнём с арифметических операций
Итак, пусть у нас есть точка на числовой прямой (обозначим её для разнообразия
) и функция
)
, определённая в окрестности
, то приближающая функция всегда имеет вид
=f(p)+a(x-p))
, где число
называется производной от
в
и обозначается
)
(а также ещё сто одним способом, но хорошенького понемножку). Совершенно очевидно, как приблизить функцию
)
, где
- число. Надо просто умножить всё на
и получить линейное приближение
=\lambda%20f(p)+\lambda%20a(x-p))
. Вот она, линейность! при умножении функции на константу её производная умножается на эту же констант. Если у нас теперь есть две
разные функции
,g(x))
и их производные
в одной и той же точке равны соответственно
, то складывая соответствующие линейные приближения, мы получаем снова линеное приближение для суммы, и производная (наклон) будет равна сумме
. Троекратное ура линейности!
Вспомним, как мы расширяли запас функций, начиная с простейшей функции
=x)
и постоянных функций вида
=c)
, и дальше изготовляли из них новые при помощи арифметических операций. Разумеется, функция
дифференцируема в любой точке (она сама линейна и сама себя прекрасно приближает), а её производная равна всюду единице. Производная константы (тоже "линейная") везде равна нулю. Осталось посмотреть, что происходит с производной при арифметических операциях над функциями. Как мы только что выяснили, производная суммы/разности равно сумме/разности производных,
^\prime%20(p)=f^\prime%20(p)\pm%20g^\prime%20(p))
. Очевидно, что производная произведения тоже должна быть равна произведению производных. По крайней мере, говорят, сам Лейбниц, придумывавший правила исходя из философских соображений, так думал поначалу.
Но пришлось передумать, и вот почему. Пусть, как и выше,
\approx%20f(p)+a(x-p),\%20g(x)\approx%20g(p)+b(x-p))
,
,\%20b=g^\prime%20(p))
- две функции с явно выписанными аффинными приближениями (мы уже объясняли раньше, в каком смысле используется знак приблизительного равенства). Если мы перемножим эти равенства, то слева будет произведение функций
g(x))
, а справа - произведение аффинных функций, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов будет иметь вид
g(p)]+[f(p)b+g(p)a](x-p)+(x-p)^2)
. Увы, эта функция не аффинная! Точнее, она состоит из двух частей: одна - аффинная, которую можно переписать в виде
(p)+[f(p)g^\prime%20(p)+f^\prime%20(p)g(p)](x-p))
, и квадратичный хвост. Значит, получившееся выражение надо ещё раз линеаризовать (приблизить линейной). Аффинная часть, разумеется, сама себе линеаризация, а квадратичная часть после деления на
стремится к нулю, когда
стремится к
. Значит, окончательно мы имеем
x\approx%20(fg)(p)+[f(p)g^\prime%20(p)+f^\prime%20(p)g(p)](x-p))
, т.е., производная произведения
в точке
равна
g^\prime%20(p)+f^\prime%20(p)g(p))
. Вот тебе, Лейбниц, и правило Лейбница, узнаёшь?
Что там ещё осталось, деление? и деление давай сюда. Достаточно уметь считать производную функции
, дальше Лейбниц в помощь. Если
g(x)\equiv1)
, то по тому же правилу Лейбница производная левой части будет
g(p)+f(p)g^\prime%20(p))
, а справа - нуль. Значит,
/f(p)+f(p)g^\prime%20(p)=0)
и,
=-\frac{f^\prime%20(p)}{f^2(p)})
. Конечно, если
)
обращается в ноль, то мы имеем проблему, но она у нас и так раньше была (на ноль делить нельзя, у функции
будет неприятная особенность в точке
).
На этом с арифметическими действиями покончено. Видно, что всё, что можно соорудить из символа переменной x, постоянных чисел и четырёх арифметических операций, будет дифференцируемым везде на области определения, и формулы для вычисления производных весьма незамысловаты.
Корни и прочие алгебраические функции
Как дифференцировать функцию
=\sqrt%20x)
? Да очень просто, пользуясь уравнением, которому она удовлетворяет. Дифференцируя равенство
f(x)=x)
, получаем, что
f^\prime%20(p)=1)
, т.е.,
=\frac1{2\sqrt%20x})
. С корнями более высоких степеней разберётесь теперь сами?
А вот как работает "линейка", если надо продифференцировать общую алгебраическую функцию. Напомним, что такие функции задаются уравнением вида
)=0)
, где
- многочлен от двух переменных. Если нас интересует значение в точке
, и
)
, значит, по условию
=-0)
. Все многочлены, как мы уже знаем, дифференцируемы (в одной переменной мы это только что доказали выше, а в случае многих переменных ничего не меняется, как легко видеть). Значит, существует линеаризация (настоящая, без свободного члена!)
\approx%20a(x-p)+b(y-q))
, где
- "частные производные" (см. былые уроки). Подставим сюда линеаризацию для
,
\approx%20f(p)+f^\prime%20(p)(x-p)=q+f^\prime%20(p)(x-p))
. Получаем для
после сокращений линейное уравнение
)(x-p))
, которое мгновенно разрешается относительно интересующей нас величины,
=-a/b)
. Итак, производная алгебраической функции равна отношению частных производных многочлена
, который её задаёт.
В этом рассуждении есть два нюанса, толстый и тонкий. Толстый нюанс состоит в том, что я фамильярно обращался с точным равенством = и приближённым \approx, как будто это одно и тоже. На самом деле, конечно, надо аккуратно следить, где что, но это очень просто, а главное, - что у каждой функции есть единственная аппроксимация, и если два "линейных" выражения аппроксимируют (в одной и той же точке) одно и то же, то они совершенно точно равны друг другу.
Тонкий нюанс состоит в том, что мы написали уравнение
=0)
, выбрали точку
)
удовлетворяющую уравнению, и предположили, что эти данные в самом деле определяют нам функцию. Это предположение ниоткуда не следует. Однако же оказывается, что если знаменатель в написанном выше отношении частных производных не равен нулю, то такая функция в самом деле существует, по крайней мере в достаточно малой окрестности точки p. Этот факт уже доказывается не простыми вычислениями типа приведённых выше, а рассуждениями, основанными на полноте множества действительных чисел (которые мы так и не удосужились аккуратно ввести за недостатком времени). Называется он "Теорема о Неявной Функции". Эта теорема, обычно формулируемая при помощи изрядного числа математических крючков, на самом деле может быть переформулирована без единого значка.
Теорема.
Функция, определяемая неявно при помощи дифференцируемого уравнения, локально существует и дифференцируема, если её линеаризация может быть выражена из линеаризованного уравнения (т.е., без деления на ноль).
Приятная неожиданность этой формулы состоит в том, что дифференцировать неявную функцию ничуть не труднее, чем просто её вычислять. Скажем, алгебраическое уравнение степени 4 решается чудовищными формулами, выражающими игрек через икс, но производная игрека по иксу задаётся (как функция икса и игрека) очень простым рациональным выражением.
Цепное правило, или Лейбниц слегка отмщён
Кроме арифметических операций и неявных функций, мы ещё использовали композиции. Как выглядит производная композиции? На первый взгляд, всё очень просто, гораздо проще даже, чем с арифметическими операциями. В самом деле, если произведение аффинных функций и может быть нелинейным, то композиция аффинных функций, как мы знаем, всегда аффинна. Если
=ax+p)
и
=bx+q)
- две аффинные функции с наклоном (производной) a и b соответственно, то их композиции
)=a(bx+q)+p=ab\,%20x+(aq+p))
и
)=b(ax+p)+q=ba\,x+(bp+q))
хоть и отличаются друг от друга, но имеют одинаковый наклон, равный произведению производных. Ура, наконец, красивая формула получена?
Не так всё просто, однако. Предыдущее вычисление закончилось таким триумфом только потому, что
производная аффинной функции одна и та же во всех точках. В более сложных случаях, когда производная зависит от точки, формулу надо поправить. Пусть
=q)
, и
определена в окрестности этой точки. Чтобы композиция была хорошо определена,
)
должна быть определена в окрестности точки
. Соответственные аффинные аппроксимации надо писать, привязываясь к этим точкам:
=y\approx%20f(p)+a(x-p),%20\%20a=f^\prime%20(p))
, и
\approx%20g(q)+b(y-q),\%20b=g^\prime%20(q))
. Подставляя-раскрывая-собирая, получаем
(x)\approx%20g(q)+g^\prime%20(q)f^\prime%20(p)(x-p))
, и тем самым
^\prime%20(p)=g^\prime%20(q)f^\prime%20(p)=g^\prime%20(f(p))f^\prime%20(p))
. Т.е., таки да, произведение производных, но в разных точках. Если кто-то хочет "функциональную" формулу, то она выглядит так:
^\prime%20=(g^\prime%20\circ%20f)\cdot%20f^\prime)
(кружочек и точка - две разные операции!).
Производная как функция
До сих пор мы говорили о производной (наклоне линеаризации) только как о числе, зависящем от точки в области определения функции (да и то производная может не всегда существовать: например, у функции
, определённой нами при всех неотрицательных значениях
, производной нет в точке
, хотя сама точка принадлежит области определения; бывают ещё примеры недифференцируемых функций, "специально придуманных" для этого, например,
=|x|)
). Но чаще всего производная существует в настолько большом числе точек, что имеет смысл рассматривать её не как набор чисел, а как
новую числовую функцию. За обозначением далеко ходить не надо: если функция обозначается буквой
, то сам бог велел обозначать производную формулой
.
Такая смена вех совсем неочевидна: ведь производная "живёт" совсем в другом мире, нежели исходная функция, и уравнивать их в правах (и то функция, и это) - требует некоторой храбрости. Особенно это должны ощущать физики, у которых аргументы и значения функции - "поименованные величины". Скажем, если аргумент функции меряется в "секундах с момента Большого Взрыва", а значения эта функция принимает в "метрах от центра тяжести камня Кааба в Мекке", то производная этой функции будет функцией "секунд с момента...", а значения будут в "метрах в секунду", измеряющих приближение к цели хаджа. Как можно две такие функции сравнивать? Они же такие разные... А если значения - не в метрах расстояния, а в галактических координатах?
Тем не менее в случае функций одной переменной есть очень серьёзные основания считать, что и функция, и её производная принадлежат к "одному племени".
Немного занудства для "технарей"
Наверное, уместно здесь слегка извиниться от имени сословия профессиональных математиков перед читателем от сохи, которому интересны содержательные вещи, а не внутренние правила этикета. С одной стороны, математики бывают небрежны при выборе обозначений (про числовой и векторный нуль мы уже говорили, а ведь есть ещё и нулевые матрицы!). С другой стороны, для них (нас) весьма существенно, чтобы обозначение однозначно истолковывалось (в подходящем контексте, конечно). Поэтому запись способна вогнать математика в ступор. Она может означать: - Значение (например, числовое) функции, обозначенной , в точке, обозначенной через ;
- Указание на то, что мы обозначем иксом аргумент функции , то место в формуле, куда надо подставлять конкретные числа, чтобы получить значения функции; надо оглянуться вокруг, что ещё этим же иксом обозначено.
- Ничего дополнительного по сравнению с обозначением функции f: в самом деле, не всё ли равно, какой буквой мы обозначем "дырку в формуле", если эта дырка должна заполняться одним и тем же числом. В случае нескольких переменных надо позаботиться о том, чтобы дырки для разных переменных обозначались разными буквами, но выбор этих букв совершенно не важен.
По большому счёту, надо уметь различать, идёт ли речь о значении функции в какой-то точке, или о функции, как формуле (правиле, соответствии). Логики говорили бы о том, является икс свободной переменной или связан каким-нибудь квантором.
Извените. В любом случае формулы и означают одно и то же. А зачем вообще нужна эта самая производная
Для большинства физиков и инженеров линеаризация функций (разного числа переменных) - писать явные формулы и приближённо вычислять что-то ("прикидывать"). С линейных приближений начинается любой анализ, и только когда обнаруживаются отклонения от "линейной модели", начинается "нелинейный анализ".
Но есть куда более серьёзная причина, зачем нам нужна производная. Всевышний сделал так, что Основные Законы Нашего Мира записываются в виде Дифференциальных Уравнений, соотношений, связывающих фундаментальные физические величины и их производные. Почему это так, никто толком не понимает. Первым это обнаружил, видимо, Ньютон, который связал одним уравнением вторую производную по времени (ускорение) с силой, определяемой положением (иксами) относительно разных тяготеющих и тормозящих тел. Совместное развитие математики и физики вплоть до начала двадцатого века основывалось именно на написании и решении дифференциальных уравнений.
Простейшее дифференциальное уравнение, которое можно себе представить, имеет вид
)
, - в переводе на человеческий язык, - найди функцию по её производной. Оказалось, что даже такое простейшее уравнение, если научиться его решать, решает примерно половину проблем, которые стояли перед инженерами со времён Архимеда. Но об этом - в следующий раз, а то опять не влезет в прокрустовы рамки.
Ахтунг! текст не отредактирован (хотя в основном закончен). Формулы
конечно, перекосячены кросс-постом, - все "штрихи" (primes) стали уродскими apost;-ами. Я поправлю это, конечно, но пока осмысленно читать только оригинал на Дриме поправлены.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
xaxam
no subject
Date: 2017-04-22 05:36 pm (UTC)no subject
Date: 2017-04-23 04:40 am (UTC)no subject
Date: 2017-04-22 08:08 pm (UTC)Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-22 08:11 pm (UTC)Re: Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-23 04:34 am (UTC)Я как-то фантазировал на тему альтернативной истории математики, где интегралы и ряды Фурье появились бы раньше, чем производные и ряды Тейлора...
Re: Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-24 02:05 am (UTC)Re: Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-25 01:26 pm (UTC)Боюсь, что в такой вариант не верит ни один математик (не буду говорить за физиков). Так или иначе, мы все, пускай и в разной мере - (нео)платоники, и верим, что мы не придумываем математические понятия, а открываем их.
Это положение вещей работы Гёделя только укрепили, как мне кажется. Если бы была возможность "аксиоматизировать всё", то можно было бы вслед за тем начать бодаться с аксиомами, мол, а почему они такие, а не другие... а так есть ZFC, в которую мы верим (что она непротиворечива), и верим, что независимо от того, принять континуум-гипотезу или её отрицание, в "нашем" мире ничего не изменится. А как там "в настоящем мире", - так это один господь бог знает, а мы пока - нет.
Re: Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-26 01:04 am (UTC)Re: Пардон -- не заметил, что не залогинен...
Date: 2017-04-26 03:54 am (UTC)Слово "боюсь" ослабляет категоричность квантора ;-)
>>> не наводит ли вас сложность и громоздкость некоторых конструкций
Не страшно. Мы открываем новый мир, а слов для его описания может поначалу не хватать. Человек, впервые увидевший слона, наверняка пришёл в ступор, - зачем слону два хвоста?
no subject
Date: 2017-04-23 10:09 am (UTC)На дриме половина формул в виде белых квадратов, не отображаются. Это те, где присутствуют штрихи и пробелы. Дело не в последнюю очередь связано с префиксом "https://p.dreamwidth.org/ecb1cea4215f/1856640-876614" перед "http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%27"
Как бы это все облагородить?
no subject
Date: 2017-04-23 11:12 am (UTC)no subject
Date: 2017-04-23 12:41 pm (UTC)Upd. О, мне тут ответили https://dw-maintenance.dreamwidth.org/75916.html?thread=2769548#cmt2769548 Какой-то косяк все же есть. Странно, что другие не видят
no subject
Date: 2017-04-23 12:47 pm (UTC)Странно, что с ЖЖ читается: если картинка один раз сгенерировалась и сгрузилась, она должна была бы остаться в cache: увидев её раз на ЖЖ, на Дриме Хром должен был бы не перезапрашивать, а достать из-за пазухи.
no subject
Date: 2017-04-23 12:55 pm (UTC)На дриме в формулах появляется префикс "p.dreamwidth.org/ecb1cea4215f/1856640-876614", на жж такого нет. Поэтому, кеш не срабатывает.
Картинки пропадают только если в них есть пробел или штрих (не /prime!), рефреш страницы не срабатывает.
Упомянутый по ссылке выше "https", мне кажется, тут не при чем.
Что предложить, хз, я в таких ситуациях перед современными технологиями пасую. Постучать бы по чему-нибудь :)
no subject
Date: 2017-04-23 01:24 pm (UTC)no subject
Date: 2017-04-23 01:38 pm (UTC)no subject
Date: 2017-04-23 01:44 pm (UTC)Боюсь, что в таком случае я довольно быстро скатился бы на "профессиональный стиль" писания математических текстов. Тот факт, что каждая формула требует определённых усилий, чтобы её впихнуть в текст, сильно способствует неформальности изложения, каковая является основной целью.
no subject
Date: 2017-04-23 07:11 pm (UTC)