Отбой

[xaxam]

Шляпа Гильберта не пострадала

Если это ещё кому-нибудь вдруг интересно, - подробности под катом.

Разумеется, фуфлом всё оказалось. Собственно, доказательства толком и нет. Центральная "идея" - описать замкнутые траектории векторного поля на плоскости, как критические точки какого-нибудь функционала, а потом замутить что-то в духе теории Морса. (Подобный подход очень популярен при доказательстве существования решений разных дифуров).

В данном случае, обозначив векторное поле на плоскости через , авторы рассматривают функционал

где . Проблемы начинаются с того, что он страшно вырожден: квадратичная форма не строго выпукла, и интеграл не замечает произвольного хождения взад-вперёд по любым кускам интегральных траекторий поля . Авторы понимают это и пытаются регуляризовать его, добавляя интеграл с малым коэффициентом .

После этого начинаются танцы с бубном: доказательства фактически нет, а есть утверждения типа "решения сингулярно возмущенных уравнений (Эйлера-Лагранжа для регуляризованной системы), за несущественными исключениями, сходятся к решениям предельной системы, как следует из [5]" ([5] - это книжка, чтоб понятно было). Точные утверждения и подробные вычисления делаются только для тривиальных вещей, где они как раз очевидны, а в остальных случаях стиль примерно такой: "да, мы знаем, что этот объект скверный и ведёт себя плохо, но нам это не помешает".

Помешать действительно не может: с самого начала авторы пытаются параметризовать периодические решения интервалом от нуля до единицы и утверждают, что это можно сделать гладким образом (игнорируя длиннопериодические циклы, среди которых собака-то и зарыта, как всем известно со времён Пуанкаре). Никакого локального анализа, никакой аналитической теории, - исключительно дифференцирование интегральных функционалов. Если б это доказательство было правильным, оно бы работало и для -гладких векторных полей, как услужливо объясняют авторы, и как немедленно подметил проницательный mitrii.

Но для гладких полей утверждение авторов просто неверно. Ллибре и Педрегал утверждают, что число предельных циклов оценивается сверху через число овалов кривой плюс число точек пересечения этой же кривой с ещё одной вспомогательной кривой (обе кривые алгебраические для полиномиального поля , что якобы и даёт оценку, заявленную авторами). Рассмотрим произвольное, скажем, интегрируемое по Дарбу поле (без предельных циклов, но с гнездом замкнутых траекторий) таким образом, чтобы дивергенция в вершинах была ненулевая. При помощи бесконечно-гладкой "заплатки" (plug), можно возмутить это поле в окрестности вершин (да, собственно, почти где угодно), создав любое конечное или даже бесконечное число предельных циклов. При этом на кривой ничего не изменится, значит, и "оценка" не должна поменяться. Хор станиславских поёт "Crucify him, crucify him!"

Удивительная халтура. Ещё более удивительно, что Ллибре сам не понимает, что это не может не быть халтурой (про "матфизика" Педрегала не знаю: может, у них, у вариационистов, все доказательства такие халтурные, просто никто их не читает и не проверяет).

В общем, курочка, несущая золотые яйца, увернулась от каталонских матадоров и ещё побегает.