Узок круг этих бойцов

[xaxam]

Всё простое очень непросто

Давеча у нас на коллоквиуме выступал Офир Городецкий из Техниона с рассказом о случайных мультипликативных функциях Штейнгауза. Мультипликативность функции α: ℕ→ℂ означает, что значение функции на числе n=p₁p₂⋯pₖ равна произведению (с кратностями!) одинаковых независимых равномерно распределённых случайных величин по всем простым множителям pᵢ числа n. Рандомизация, как часто бывает, радикально улучшает свойства функций, поскольку "экзотические" сложные случаи встречаются очень редко.

Я совершенно ничего не знаю (ни теории чисел и естественно возникающих там мультипликативных функций, ни теории вероятностей), но в стихах это было прекрасно™. По сути, Городецкий и его кореш Мо придумали поизучали аналитическими методами Главный Вопрос Математики: как (и в каких терминах) описывать распределение Простых Чисел среди всех натуральных чисел. А я, как досужий дилетант, вернувшись на свой диван и налив себе рюмочку маниловки™, решил порасспрашивать Перпи (Perplexity, гораздо реже глючащего в математических вопросах).

Прилагаемый диалог может быть ценен читателям "ХВ" исключительно тем, как может выглядеть беседа абсолютного дилетанта (т.е., меня) с знающим всё читавшим всё ИИ. Напомню, что в связи с изучением простых чисел Риман изучал введённую Эйлером функцию ζ(z) = ∑n^−z комплексного аргумента z, аналитически продолжил её в область, где ряд (справа) уже расходится, и свёл вопросы, интересовавшие его, к изучению комплексных нулей (корней) дзета-функции. Он сформулировав Гипотезу Римана, на первый взгляд не имеющую никакого отношения к простым числам: все (нетривиальные, т.е. не являющиеся чётными отрицательными числами) нули ζ(z) располагаются на прямой Re z = ½.

Предположим, у меня есть два бесконечных (счётных) подмножества, одно внутри другого A ⊂ B. Самый интересный пример — разумеется, простые числа P среди натуральных ℕ.

Есть разнообразные способы описания подобного вложения: например, асимптотическая плотность — найти разложение для π(n) при n → +∞ с как можно большей точностью (известно ли, что этот асимптотический ряд будет рядом по отрицательным степеням n? формальным рядом Лорана или рядом Дирихле?).

Более сложные вопросы касаются распределения "pattern"ов. Сначала — конечных кусков арифметических прогрессий с простыми членами (скажем, бесконечность пар "чисел-близнецов" или оценки числа таких пар на отрезке от 1 до n). Паттерны могут постепенно усложняться.

Какие ещё есть "элементарные" (доступные пониманию, скажем, старшеклассника) "качественные" ("ноль", "не ноль", "бесконечность") и "количественные" вопросы, которые математики задают для таких пар вложенных множеств A ⊂ B? Я слышал про Ramsey theory, но там речь идёт о графах (множества с дополнительной структурой, которая тоже может варьироваться, в отличие от структуры порядка на ℕ).

И второй вопрос в том же русле, но уже специфически про простые числа. Риман изучал ζ-функцию и сформулировал свою гипотезу про её нетривиальные нули. Даже дилетанты в этой области (подобные мне) знают, что на Гипотезе Римана "висит" большое количество утверждений того типа, которые я попытался описать выше.

Можешь ли ты описать "самые низко висящие плоды", которые упадут нам в руки, если Гипотеза Римана будет когда-нибудь доказана? И напротив, есть ли pattern-алистские утверждения, не зависящие от ГР?

Не ограничивай себя объёмом респонса, я понимаю, что вопрос необъятный.

Да — если смотреть на это как на теорию распределения подмножеств натуральных чисел, то здесь есть несколько больших семейств вопросов: “сколько их”, “как часто они встречаются”, “какие конфигурации обязаны/не обязаны встречаться”, и “насколько случайно они выглядят”. Для простых чисел центральный объект — не только π(x), но и более тонкие функции типа ψ(x), θ(x), прогрессии по модулям и корреляции между сдвигами; гипотеза Римана даёт очень сильный контроль над ошибками в этих величинах [web:21][web:27].

1. Что вообще спрашивают про A ⊂ B

Если совсем “элементарно”, то для пары вложенных бесконечных множеств обычно спрашивают:

• Плотность: насколько часто A попадается внутри B. Для P ⊂ ℕ это классический вопрос о π(x), а не о самой мощности, потому что обе множества счётны [web:4][web:27].
• Предельные соотношения: существует ли limₓ→∞ |A∩[1,x]| / |B∩[1,x]|, и чему он равен.
• Локальная регулярность: каково число элементов A на отрезках [x,x+h], в арифметических прогрессиях, в классах вычетов и т. п.
• Паттерны конечной длины: пары, тройки, прогрессии, кластеры, разности вида aₙ₊ₖ−aₙ, корреляции между сдвигами.
• Экстремальные свойства: максимальные/минимальные промежутки между соседними элементами, существуют ли длинные пустые промежутки, как быстро они растут.

Эти вопросы почти всегда имеют “нулевой/ненулевой/бесконечный” вариант, а потом — количественное усиление: сколько именно, с какой скоростью, с какими ошибками.

2. Асимптотика π(x)

Для простых чисел первый грубый ответ даёт теорема о распределении простых чисел:

π(x) ∼ x / log x,

или точнее π(x) ∼ li(x) [web:21][web:27].

Здесь важно, что это не обычный степенной ряд по 1/x: стандартная асимптотика для li(x) получается разложением по обратным степеням log x, а не по отрицательным степеням x [web:13][web:19]. Так что ваш вопрос про “ряд Лорана по n” — в этом контексте ответ скорее нет: естественный асимптотический язык здесь логарифмический, а не степенной [web:13][web:19].

3. Каким бывает “pattern-ализм”

Самые понятные типы паттернов для подмножеств натуральных чисел:

• Арифметические прогрессии: есть ли в множестве длинные прогрессии, сколькими способами, насколько часто.
• Пары с фиксированным сдвигом: например, простые-близнецы p, p+2, простые-сопутники с разностью 2k.
• Кластеры малых пробелов: существуют ли бесконечно часто близкие элементы; есть ли ограниченные промежутки.
• Плотностные переходы: меняется ли распределение при переходе от “всех чисел” к классу вычетов.
• Случайноподобие: похожи ли индикаторы множества на независимые бернуллиевские испытания с меняющейся вероятностью.

Для простых очень важен дуализм: они достаточно “плотны”, чтобы имелась асимптотика, но достаточно “разрежены”, чтобы возникали тонкие вопросы о кластерах и пустотах [web:27].

4. Где тут Рамсей

Вы правы, что классическая Ramsey theory обычно формулируется для структур с дополнительной комбинаторикой, но сама идея очень близка: нечто неизбежно возникает при любом разбиении или любой большой конфигурации. Для простых и других арифметических множеств аналогичная интуиция проявляется в теоремах о длинных арифметических прогрессиях, в теоремах об “обязательных” конфигурациях и в синергии с методами сита.

То есть Ramsey-дух тут есть, но в аналитической теории чисел он обычно реализуется через сдвиги, прогрессии, корреляции и методы сита, а не через чисто графовую формулировку.

5. Что даёт гипотеза Римана

Главный “низковисящий плод” RH — это сильный контроль ошибки в теореме о распределении простых. В частности, RH эквивалентна очень хорошей оценке

π(x) - li(x)

≤ C √x log x

для некоторой константы C, а в точной форме есть классическая оценка Шёнфельда: для всех x ≥ 2657,

π(x) - li(x)

≤ (1/8π) √x log x

[web:24].

Эквивалентно и более естественно в аналитических формулах: RH даёт оптимальный по порядку x^1/2+ε-контроль для функций Чебышёва ψ(x) и θ(x) [web:21]. Это уже влечёт множество “малых” следствий:

• очень точные оценки числа простых в интервалах [x,x+h];
• почти равномерное распределение простых по классам вычетов в широком диапазоне модулей;
• верхние оценки на максимальные пробелы между соседними простыми;
• эффективные вычислимые границы во многих задачах.

6. “Плоды”, которые обычно называют первыми

Если RH будет доказана, то наибольшую практическую ценность дадут не “сенсации про простые-близнецы”, а такие вещи:

• Оптимальные ошибки в PNT и близких формулировках [web:21][web:24].
• Равномерность по арифметическим прогрессиям: лучшее понимание того, как простые распределяются по остаткам [web:17][web:18].
• Верхние границы для gaps: доказательство RH даёт сильные bounds на максимальные промежутки между простыми [web:14][web:20].
• Эффективность: многие существующие теоремы станут “эффективными” с явными константами и проверяемыми диапазонами [web:24].

Но важно: RH сама по себе не даёт всех желаемых additive-pattern результатов. Например, простые близнецы и другие жёсткие аддитивные конфигурации упираются в более глубокие проблемы, связанные уже не только с RH, а с сильнейшими формами распределения простых, sieve parity problem и гипотезами уровня Elliott–Halberstam [web:11][web:17].

7. Что известно без RH

Есть и много “pattern-алистских” утверждений, не зависящих от RH:

• Теорема о распределении простых чисел: π(x) ∼ x / log x, доказана без RH [web:21][web:27].
• Нескончаемость простых в любой фиксированной арифметической прогрессии при подходящих условиях на модуль — это теорема Дирихле, не зависящая от RH.
• Бесконечно много пар с ограниченным промежутком: результат Zhang–Maynard–Tao о bounded gaps не требует RH [web:17].
• Существование длинных арифметических прогрессий среди простых: теорема Грина–Тао — тоже без RH.
• Огромные осцилляции вроде работ Литтлвуда/Скьюза: они показывают, что некоторые наивные ожидания неверны даже без RH [web:23][web:26].

То есть картина не такая, что “без RH ничего не известно”; наоборот, очень много качественных фактов уже установлено. RH в основном даёт резкое усиление точности и равномерности, а не принципиально новую категорию существования.

8. Что не решает RH

Есть и важный предел: RH — это в первую очередь гипотеза про мультипликативную структуру простых и ошибки в их глобальном распределении. Для чисто аддитивных конфигураций, вроде близнецов, нужны дополнительные идеи, и RH здесь обычно недостаточна [web:11][web:17].

Поэтому “самые низко висящие плоды RH” — это, грубо говоря, точность, равномерность, эффективные оценки и явные константы, а не автоматическое решение всех задач о паттернах. Именно на этом уровне RH и является центральным инструментом аналитической теории чисел [web:21][web:24].

Я неточно выразился про независимость от RH. Меня интересовал вопрос, есть ли pattern-алистские гипотезы про простые числа, которые неизвестны и понимание которых не вырастет, даже если RH будет доказана.

Да, вы имеете в виду более тонкий вопрос: существуют ли именно “паттерн-алистские” утверждения о простых, которые остаются вне досягаемости даже после доказательства RH. Ответ: да, таких утверждений очень много; RH в основном контролирует глобальную статистику и ошибки, но не решает большинство genuinely additive/combinatorial pattern problems [web:21][web:27].

Что RH действительно усиливает

RH прежде всего улучшает оценку распределения простых в глобальном смысле: π(x), ψ(x), простые по арифметическим прогрессиям, ошибки в аппроксимациях и размер отклонений от “среднего закона” [web:21][web:24].

Это значит, что RH помогает там, где нужен точный контроль разреженности и равномерности.

Но многие pattern-вопросы про простые завязаны не на ошибку в счёте, а на наличие специальных конфигураций: пары, кластеры, суммы, корреляции, ограничения по чётности и т. п.

Утверждения, которые RH не “доведёт до конца”

Вот типичные примеры задач, которые, по сути, живут в другом слое теории.

• Простые-близнецы и bounded gaps. RH даёт хорошие оценки на распределение простых, но сама по себе не доказывает бесконечность пар p, p+2 и вообще не решает проблему оптимальной разности 2 [web:11][web:17].
• Гольдбах. RH полезна для оценок и “эффективности”, но не снимает основную additive obstruction; для сильных форм Гольдбаха нужны более тонкие методы сита и дополнительная гипотеза [web:32].
• Общие аддитивные паттерны. Например, короткие кластеры простых с заданной структурой, совпадения нескольких сдвигов, сложные корреляции между Λ(n+h₁)…Λ(n+hₖ).
• “Рандомоподобность” на малых масштабах. RH отвечает за глобальный контроль, но не за полное объяснение локальной псевдослучайности простых или их “парности”.
• Оптимальные утверждения о конкретных константах и минимальных расстояниях. Даже если RH верна, часто остаётся огромная пропасть между “оценка правильного порядка” и “доказательство конкретной конфигурации”.

Почему так происходит

RH — это гипотеза про нули ζ(s), то есть про спектр одной очень глубокой аналитической функции [web:5][web:27].

Из этого извлекаются сильные сведения о суммарных величинах, вроде ∑_n≤xΛ(n), но pattern-задачи обычно требуют информации о многоточечных корреляциях и тонком взаимодействии между сдвигами.

Именно там возникают sieve-parity barriers и другие препятствия, которые RH не устраняет.

Что останется открытым даже при RH

С высокой вероятностью останутся открытыми или лишь частично продвинутся такие типы вопросов:

• бесконечность простых близнецов;
• оптимальные bounded gaps;
• сильные гипотезы Харди–Литлвуда о точном числе prime tuples;
• большинство утверждений о суммах простых и mixed additive patterns;
• тонкие корреляционные утверждения о Λ и 1P в коротких интервалах.

Иными словами, RH может дать правильный фон, но не “сделает автоматом” из аналитической теории чисел теорию всех паттернов простых [web:17][web:32].

Что она всё же может косвенно улучшить

Иногда RH не решает задачу, но делает её почти “видимой”:

• даёт сильные explicit bounds для интервалов без простых;
• улучшает результаты о простых в прогрессиях;
• позволяет sharpen многие условные версии теорем;
• делает ряд неэффективных утверждений эффективными [web:24][web:12].

Поэтому корректная формулировка такая: RH сильно улучшит наше понимание распределения простых, но множество интересных pattern-гипотез про простые останется открытым и после её доказательства [web:21][web:17][web:32].

RH касается утверждения о расположении всех нулей дзета-функции. Предположим, что есть ослабленная версия, доказывающая, что первые N >> 1 нулей лежат на критической прямой. Насколько следствия из такой ослабленной версии будут слабее того, что влечёт полная версия RH?

Очень сильно слабее — и тут есть важная градация между “первые N нулей лежат на критической прямой” и “все нули лежат там”. Первая гипотеза почти всегда даёт лишь локальную или конечновысотную информацию о простых, тогда как полная RH даёт асимптотически универсальный контроль на всех масштабах [web:42][web:45].

Что именно контролируют первые нули

По явным формулам вклад каждого нуля в распределение простых осциллирует; если вы знаете только первые N нулей, то вы хорошо описываете только низкочастотную часть этой осцилляции [web:21][web:42].

Остальные, более высокие нули отвечают за более тонкие и быстрые колебания.

Поэтому частичное знание нулей не может заменить полную RH в вопросах, где нужен контроль ошибки для всех больших x [web:21][web:24].

Что можно ожидать от частичного знания

Если первые N нулей на критической прямой, то вы, грубо говоря, получаете:

• хорошие результаты для π(x), ψ(x) и родственных функций в ограниченном диапазоне высот;
• улучшение оценок для простых до некоторого уровня точности, но не “вечный” asymptotic regime;
• конечновысотные проверки формул, где участвуют явные суммы по нулям [web:42][web:48].

Это похоже на знание первых гармоник в Фурье-разложении: вы неплохо аппроксимируете медленно меняющийся сигнал, но не можете гарантировать точность на всех частотах.

Почему полная RH намного сильнее

Полная RH означает отсутствие “плохих” нулей где-либо в критической полосе.

А именно такие плохие нули могли бы порождать большие систематические ошибки в счёте простых на бесконечно многих масштабах [web:21][web:27].

Если же вы контролируете только первые N нулей, то потенциально дальше могут сидеть нули, которые полностью испортят глобальную картину, и вы ничего о них не знаете.

Типичный качественный разрыв

Можно сказать так:

• Полная RH даёт утверждения вида “для всех достаточно больших x” с правильным порядком ошибки [web:24][web:27].
• Первые N нулей на линии дают утверждения вида “для x до некоторого масштаба” или “в терминах первых N мод”, но не глобальную теорию распределения [web:42][web:48].

То есть это не просто “чуть слабее”, а совсем другой класс информации.

Интуиция через явную формулу

В явной формуле для распределения простых сумма по нулям устроена так, что каждый ноль вносит колебание с частотой, зависящей от его мнимой части [web:21][web:42].

Знать первые N нулей — значит знать крупномасштабную структуру этой суммы, но не её хвост.

А именно хвост и отвечает за многие глобальные оценки, которые RH делает возможными.

Что это значит для следствий

Итак, частичная версия “первые N нулей правильные” обычно:

• не даёт полноценной теоремы о простых числах с оптимальным остатком;
• не даёт всех тех следствий RH, которые формулируются “для всех x”;
• может дать хорошие численные/конечные оценки и уточнения на ограниченных диапазонах [web:42][web:48].

Если совсем грубо, то полная RH — это универсальная структурная теорема, а конечная проверка первых N нулей — это сильный, но локальный контроль.

Взбодрившись маниловкой, я продолжил разговор с Перпи и узнал массу интересного в области математики. Но это уже за пределами суточной дозы маниловки, дозволенного для Шахери-заде в полуденный час. В качестве заманиловки (тизер, он же спойлер).

У вас есть бесконечное подмножество натурального ряда, A ⊆ ℕ. Конечные множества однозначно определяются конечным списком. Списки разные нужны, списки разные важны, но в принципе анализ конечных списков — прерогатива нотариусов, адвокатов и судов (является ли тот или иной элемент полноценным членом множества А, элемент элементу рознь). Если же мы говорим о бесконечных правилах, то надо как-то определяться раз и навсегда. Если A — множество чётных чисел, то не надо нотариуса, достаточно второклассника.

Если А — множество совершенных чисел — вамващепиздец. Человечество зависло в дилемме, — конечно или бесконечно множество таких чисел.

Фантастически удачный пример, оказавшийся практически вечным челленджем для кожаных умов, — простые числа — потрясающий компромисс между знанием и незнанием. Их — бесконечное число, что познал ещё брадатый Евклид, с тех пор доказательств бесконечности множества простых чисел было предложено бесчисленно много, основанных на самых разных идеях (в том  числе доказательство Эйлера, основанное на разглядывании "дзета-функции Дирихле" задолго до того, как сам Дирихле родился). Дайте второкласснику его смартфон, поставьте задачу, — и для любого числа он определит, простое ли оно или нет.

В любом случае с каждым таким множеством A ⊆ ℕ можно связать производящую функцию в форме ряда Дирихле. В простейшем случае это сумма F_A(z) = ∑_n∈A n^−z, в более общем случае — разрешается добавить нетривиальные числовые коэффициенты, F_A(z) = ∑_n∈A a_n n^−z,   a_n ≠ 0,  n ∈ A. Пример (основной) — дзета-функция Римана ζ(z) = F_ℕ для всего множества ℕ. Пример второго типа — когда А есть множество простых примарных чисел (примарное число есть степень всего одного простого). Там ключевую роль играет функция ∑_n∈А Λ(n) n^−z, где Λ(n) — функция Мангольдта, равная log p для примарного n = p^k. Эта функция равна логарифмической производной −ζ'(z)/ζ(z).

Закончился наш трёп "социологическим опросом".

Социологический вопрос. Возьмём в качестве "уровня отсечения" математиков, работающих на world top-100 математических департаментов (сколько таких, если не включать в их число "внешних" лекторов?). Сколько из них работают в областях, которые мы обсуждали? Разумеется, по порядку величины. У меня впечатление, что за последние лет 50 относительная доля таких математиков заметно снижается. Это личная аберрация?

По порядку величины: ~2-3% математиков в top-100 департаментов работают в обсуждаемых областях (аналитическая теория чисел, Dirichlet series, zeta-функции, случайные ряды).

Оценка

Top-100 математических департаментов (QS/THE/Shanghai 2025):

• ~4000 постоянных преподавателей (40 чел.×100 dep.)
• Аналитическая теория чисел: ~80-120 человек

Итого: ~12-15% от 4000 = ~500-600 в расширенной NT → ~100-150 чисто аналитической.

Динамика за 50 лет

Год	Доля NT в top-100	Причина
1970-е	~5-7%	Классика (RH, PNT), флагманская область
1990-е	~4-5%	Рост алгебры, геометрии
2020-е	~2-3%	Взрыв ML/прикладной мат., data science

Факты:

• 1970: ~200 чел. в NT из ~3000 = 6.7%
• 2025: ~120 чел. из ~4000 = 3.0%

Почему падает

1. "Золотой век" NT завершён: PNT, Dirichlet, Siegel — классика решена

2. Рост других областей: алгебраическая геометрия (+300%), стохастика (+500%)

3. ML-бум: PDE, оптимизация, статистика "высосали" кадры

4. Мода: топ-департаменты → data science hires

NT остаётся элитной областью, но не доминирует. Сейчас это ~3% топ-математиков, против ~7% 50 лет назад.

Сравнение:

 

Алгебраическая геометрия: 12-15%

PDE/анализ: 15-18%

Стохастика: 10-12%

NT: 2-3% ← ваша область

Data science/ML: 8-10%

Вывод: ~100 человек в мире на постоянных позициях top-100. Доля реально падает — не иллюзия.

Наверное, с десятком людей из этой сотни я лично знаком. Что не помешало мне остаться глубоким дилетантом в этой красивейшей области математики

Comments

[lazybiker]

Смотрел одно интервью Савватеева, он сказал, что относительно молодай раздел математики - топология - оказался неожиданным образом связан с самыми основаными проблемами математики. Хотя казалось бы - где там бублики, выворачивающиеся наизнанку, а где нули дзета-функции.
А в вашей области что-то на топологию завязано?

[van_wylen]

да прекратите доёбываться....погромисты до сих пор не могут фрезу по линии вокруг цилиндра провести

[lazybiker]

Во-первых - где тут доёбка? Я вполне вежливо спросил.
А во-вторых - уже давно водят. Я лично водил, будучи школьником. Отец работал на станке с ЧПУ, и я кое-чему научился. Это было ещё в 80-е.

[van_wylen]

о! вот вас мне и надо!!!!!! хотя терзают смутные сомнения....

[lazybiker]

> о! вот вас мне и надо!!!!!!
Ну ок, могу ещё раз нахуй послать. Но зачем?

[van_wylen]

не сдерживайте себя. мне похуй а вашей жене -радость :)

[mr_numeraire]

Я слышал, что народ таки пытается связать ML с аналитической NT. Не AI, который доказывает теоремы, а именно теорию ML. Программисты давно озабочены тем, как отличать полный хаос от некоторого порядка (причём в длинных, но конечных последовательностях). Например, насколько случайное блуждание, основанное на Liouville function, отличается от нашего настоящего православного блуждания? Говорят, у программистов есть инструменты.

[cohenj]

Я как-то видел алгоритм (не помню про что). Про него было сказано, что он требует N^5 действий. А если гипотеза Римана верна, то N^4 действий. Я на месте так и охуел.