Мойдодыр и Спиодин спешат на помощь

[xaxam]

Чего я не понимаю

Как вообще объяснить эффект "насыщения" (стабилизации). Нет, в теории я знаю, у меня "цифры не бьются". Впрочем, лучше начать по порядку с того, что я понимаю (может, и другим чуть понятней станет).

Разглядывание кривых - интересно, но совершенно не позволяет понять, откуда эти кривые берутся в теории. Теория на этот счёт есть, и даже не одна, но по порядку. Самая простая модель, SIR, -по начальным буквам слов Susceptible, Infected, Recovered, - раскладывает население замкнутой страны в три разных корзины. Те, кто в принципе может заболеть, те, кто подцепили инфекцию и те, кто переболели и выздоровели. Каждый день (на самом деле, конечно, каждый час, минуту и т.д.) люди перескакивают из одной корзины в другую. Правила, по которым они это делают, весьма простые.

1. Здоровые заражаются (S -> I) с "вероятностью" (интенсивностью), зависящей от мириада факторов: и свойств заразы, и социальных привычек людей, и от эффекта воздействия разных санитарных и карантинных мер. Самый главный вклад - пропорциональный I, числу заболевших: в самом простом приближении считается, что каждый заболевший награждает заразой какое-то количество людей каждый день, вплоть до попадания в госпиталь, где заболевшего (в оптимистическом варианте) изолируют и он больше не влияет на других.
2. Больные лежат и болеют. Часть из них выздоравливает и вливается в ряды R, а часть уходит из уравнения совсем на сторону и тоже не участвует в процессе. Сколько пойдёт куда - зависит от уровня и состояния медицины, главное, что они не попадут обратно ни в S, ни в I. Это - тот самый "показатель смертности от болезни".

Чего в этих уравнениях нет - так это фактора задержки. В течение недели человек может считаться S, а он давно уже I и носит заразу, как миленький, но мы этого не видим. Зато в это время он вряд ли умрёт мгновенно, до наступления симптомов. С другой стороны, переход из I в R (или в другую сторону) - вопрос нескольких недель, иногда долгих*. Наличие такого запаздывания резко усложняет модель для точного анализа, но в очень грубом приближении может быть учтено введением "промежуточной корзины" E (Exposed), - те, кто имел шанс подцепить заразу, но мог и увернуться. Какая-то часть Е перепрыгивает каждый день в I, но от контакта между S и I душа пациента попадает сначала в "чистилище" Е, а не сразу в I. Будет у нас 4 уравнения вместо трёх, правила немного усложнятся, но всё равно адекватность такой модели (SEIR) весьма невысока. Поскольку объяснять на модели SIR заметно проще, останемся в её рамках.

Как уточнить правила перескока, сделав их из "качественных" количественными? Тут можно только рассматривать "микромодель" носителя и заразимого. Носитель носит в себе некоторое количество вирионов, единиц заразы. Сколько? ну, конечно, не число Авогадро, но очень много, и распределены они неравномерно в разных органах и тканях. С каждым чихом и кахом сколько-то из них, оседлав мокроту, вылетает наружу (умолчим о том, что происходет в сортире). С другой стороны, чтобы заразиться, надо приютить не одного вириона, и не десять, а сотни и даже тысячи. Как вирионы попадают из чиха вам на слизистую (в другие места - вроде не страшно)? Прямой контакт - вы разговариваете с человеком на короткой дистанции, и с каждым вдохом получаете от него маленькую делегацию, тем меньше, чем на большем расстоянии вы находитесь. Сейчас медицина уверяет (непонятно, на основании чего), что 2 м расстояния и 15 минут общения - всё ещё безопасная доза вирионов.  Поверим.

Кроме того, есть непрямой путь. Вы поковырялись в носу, нажали кнопку лифта, оставив на ней гарнизон вирионов. Сколько? х.з. Последующие несколько часов те, кто нажимали эту кнопку, часть этого гарнизона пускали к себе на руку, а если потом ещё потёрли рукой глаза или взяли кусок хлеба, - то какая-то малая доля с руки перепрыгнула-таки вам за крепостную стену. Если их число всё-таки, несмотря на все потери по пути, оказалось больше порогового значения - у вас есть заметный шанс стать I.

Все эти астрономические малые и большие числа невозможно померить напрямую, а уж тем более нет смысла перемножать garbage. Поэтому пользуются косвенной оценкой сразу на произведение вероятностей. Сколько человек в день заражает один I? Скольких он успеет заразить, прежде чем сляжет в госпиталь? Разница в этих двух показателях, грубо говоря, - в длительности инкубационного периода, который как раз можно по разным данным оценить. Как всегда, это не число, а вероятностное распределение, заключённое между 2 и 17 днями ("хвосты" вроде тощие). С точки зрения тупого чиновника, второй показатель - более важный, он проще и быстрее всего даёт ответ на вопрос "отрывать ли жопу от стула". Именно поэтому его так все любят и специально обозначают самым дурацким образом R₀, чтоб можно было спутать с R. Если R₀меньше единицы, то делать ничего особенного не надо, эпидемия затухнет сама собой (для начала она в такой ситуации не смогла бы возникнуть, добавим мы от себя, но не перечить же учебникам для врачей). Если больше - количество новых заражённых будет (в отсутствии прочих факторов) расти в геометрической прогрессии со знаменателем R₀. Официальная медицина сейчас неуверенно выдаёт на-гора значение R₀ для воронавыруси в интервале от полутора до трёх с половиной, даже четырёх. Эта оценка, впрочем, очень прилично согласуется с тем, что мы наблюдаем в начальный период по всем странам: среднее число заболевших растёт со скоростью 20%-40% в день (см. мои любимые красивые кривульки) в зависимости от страны**. Взяв среднюю цифру в 33% в день, мы получаем, что один носитель за три дня заразит ещё одного, а за неделю - ещё двух с небольшим людей, давая оценку R₀=2.3.

Почему же мы все не вымрем, когда прогрессия перевалит за численность всего населения страны? Ответ состоит из двух частей. "Коэффициент" R₀ на самом деле никакой не параметр модели, а всего лишь удобный индикатор. Если мы его будем вычислять "здесь и сейчас", то он станет переменной величиной, зависящей много от чего. Например, от соотношения S, R и I. Почему - вот простой пример. Предположим, что в начале эпидемии каждый носитель успевал заразить двоих, кроме себя, до попадания в изолятор. Постепенно число S падало, число R росло и через два месяца S и R сравнялись. Это означает (в первом приближении), что половина населения переболела и приобрела иммунитет. При сохранении абсолютно всех остальных параметров (заразность вируса, социальные привычки и т.д.) это означало бы, что из тех двух несчастных, которых заразил бы тот же самый носитель, один - уже не заразится, останется только один, что превратит нашу "константу" R₀ из двойки в едницу. Ещё немного - и она станет меньше единицы и эпидемия сама собой начнёт затухать.

Это то "объяснение", которое написано в учебниках. Почему оно меня не устраивает? Прежде всего, я хотел бы перестать говорить об R₀ (величина, имеющая стандартный смысл, и негоже обозначать тем же крючком нечто другое), а ввести вместо неё величину ρ=ρ(t), меряющую то же самое, только "здесь и сейчас", - дифференциальный аналог того, сколько людей заражает за инкубационный период один инфицированный.

Эта величина частично - в нашем распоряжении. Скажем, если мы предположим, что зараза передаётся в основном при личном контакте, то ничего нет лучше стратегии "больше трёх не собираться". Если до такого локдауна каждый человек в день, скажем, общался с 20 людьми, а после приказа - с 4, то это означает пятикратное уменьшение числа контактов и, следовательно, числа возможных новых заражённых!*** Попробуйте сами оценить, насколько нынешние ограничительные меры снизили среднее число людей, с которыми вы ежедневно контактируете! (Ахтунг: следы такого уменьшения будут заметны только через неделю-две). Уже одна эта мера способна была бы сделать чудеса. Однако ж не так всё просто: скажем, если речь идёт о контактном способе передачи, то всего один раз выйдя из дома, вы (зараза!) оставили гарнизон на кнопке лифта, банкомате, дверной ручке, поручне и т.д. по всей траектории. Тот факт, что вы при этом никого не встретили на своём пути, мало повлияет на количество заражённых вами сограждан. С другой стороны, тут как раз заветы Мойдодыра помогут максимально эффективно. На самом деле нет ни одного чистого сценария, делать надо всё одновременно.

И тут мы подходим, наконец, к тому месту, где у меня цифры "не бьются". Предположим, мы разными способами исхитрились снизить текущую ρ(t) до значения, скажем, 1.2, близкого к единице, но всё же бОльшего, чем критический уровень. Чтобы при таком значении ρ достигнуть насыщения и добиться перелома в ходе эпидемии, нам надо, чтобы примерно 0.2 из заражаемых были иммунными, а это значит - 20% иммунного населения R, переболевшего к этому моменту.

Это и близко не подходит к тому, что мы наблюдаем в Китае и Корее! Численность переболевших и поправившихся там - между 0.1% и 1% от всего населения, да и насыщение происходит гораздо быстрее, чем едва-едва-устойчивое значение ρ=0.99 предсказывало бы.

Может, мы с самого начала неправильно оценивали ρ(t)? В конце концов, мы не знаем, сколько на самом деле есть инфицированных, мы знаем лишь число диагностированных, а оно может быть гораздо меньше? Тут два возражения. Во-первых, если доля диагностированных остаётся относительно постоянной, то на величине ρ это не скажется. Один видимый носитель и 9 невидимых заразили бы вместе вместе 20 человек, из которых мы увидим только двух, не изменив ρ. А во-вторых, значения ρ, близкие к единице с точностью до долей процента, ну никак не смогут организовать нам на начальном (экспоненциальном) отрезке рост со скоростью 33% в день.

Как я извинялся заранее, модель SIR и её дочка SEIR - дурилки картонные, и пригодны только для качественного "объяснения" эпидемии. Честный вариант - писать все запаздывания, учитывая распределение появления симптомов по времени, карантинные меры (гарантированное изъятие части I до того момента, как они сами начали заражать других) и пр. Но ощущение, что какую-то очень важную вещь всё равно мы я упускаем. Уж больно расхождения модели с практикой велики.
_________________________________________

* В Хубее считается 3,500 умерших, болезнь официально "побеждена", гипс снимают, но ещё около 1,500 человек лежат в критическом состоянии.
** Количество социальных контактов, в которые вступают между собой китайцы (которые только спят дома) и голландцы - две большие разницы. То же разумей о среднекомфортном расстоянии, которое разделяет при разговоре итальянцев и шведов.
*** Тут нюанс, не дающий сразу запрыгать от радости. В обычной жизни мы встречаем примерно тех же самых 20 человек в день каждый день, а это не совсем то же, что 20 разных человек каждый день. Но выигрыш всё равно заметен. Тут надо усреднять по людям разных профессий, - скажем, в деревенской среде вирусу распространяться труднее, чем в городской именно по этой причине.

Comments

[signamax]

или я чего пропустил или вы опять не учли случаи когда контакт был а "заражения" не состоялось - все вирусы убились об естестствнную иммунную систему контактера

[xaxam]

Всё учтено могучим ураганом параметрами модели. Вероятность "перескока из корзины в корзину", меньшая единицы, включает тех, кому плюнули в харю, но не заразили.

[a_p]

Численность заразившихся в доли процента не выглядит правдоподобной. У меня болеет где-то половина знакомых (причём человек 15 заразились в одном месте, заболели практически одновременно с одинаковыми симптомами (включая довольно специфичную потерю обоняния) и один из таких заболевших протестировался полодительно на covid). В институтской группе моего сына болеет больше половины студентов. Все эти болезни нигде не регистрируются (дело происходит в окрестностях Парижа). Многие уже поправились.

[malobukov]

Я думаю, что китайский карантин загнал ро ниже единицы. Если карантин снять, эпидемия может повториться.

[cjelli]

Очень важно выявлять выздоровевших - им не нужен карантин, наоборот, они могут подменять ещенезаболевших.

[xaxam]

А также оказавшихся под угрозой, но не подцепивших заразу (особенно медиков, полицейских, водителей).

[(Anonymous)]

Мне кажется, есть два очевидных способа "заставить цифры биться": алармистский и пофигистский. Алармистский - предположить, что суровые китайские меры снижают ρ не до 1.2 и даже не до 0.99, а до 0.5, скажем. Пофигистский - предположить, что I и R всё время были недооценены раз в 20-200 (по каким угодно причинам: недостаточный охват тестирования, слишком быстрое бессимптомное выздоровление большинства носителей, и. т. д.). Эти два случая можно отличить: нужно просто взять 100, а лучше 1000, случайных человек с ули~~ WAIT... OH SHI~~

Короче нужно где-то взять 1000 человек, но именно случайных, а не как сейчас "подозрительных или контактировавших", и проверить, причём не только на вирус (I), но и на антитела (R). Если будет мало - имеем алармистский сценарий с маленьким ρ. Если большое I, а тем более большое R, то имеем пофигистский сценарий, карантин уже бесполезен, а то и откровенно вреден.