Из двух бессильных - (слабая) сила

[xaxam]

В погоне за общественным резонансом

Читатели просили рассказать на двух страничках про то, что такое резонанс. Сразу надо предупредить, что это будет рассказ математика, - физик на пальцах объяснит, что такое резонанс, за 30 секунд, заметя весь "мусор" под ковёр, а вот те, кого мучали матаном, наверняка помнят какие-то чудовищные формулы, из которых в конце надо было что-то усмотреть. Так вот, формул не будет, обещаю.

Резонанс - явление, которое происходит при определённых значениях параметров с дифференциальными уравнениями. Тут вроде как самое время сказать, что такое вообще дифференциальное уравнение, но я всё же воздержусь. Самый "простой" ответ был бы "это уравнение, связывающее неизвестные функции и их производные", но он и не полон (какие производные? обыкновенные? частные? какие функции?) и не точен: скажем, соотношение y′(y(x))=f(x) относительно неизвестной функции y(x) по целому ряду причин не хочется считать дифференциальным.

Поэтому мы с самого начала выделим один специальный класс дифференциальных уравнений (дифуров), и только с ним будем иметь дело. Этот класс примечателен по двум причинам. Во-первых, для суперподавляющего большинства приложений в биологии, химии, медицине, инженерном деле этот класс оказывается достаточным. А во-вторых, - это один из крайне немногих классов дифуров, где все свойства решений (включая явные формулы) можно получить в явном виде средствами элементарной алгебры, примерно школьного уровня (единственное "но" - надо знать комплексные числа). Сочетание этих двух качеств - несомненно, знак того, что господь бог нам явно благоволит и симпатизирует (никаких других видимых причин для этого нет).

Итак. Если у нас есть функция одного переменного f(x), определённая на каком-нибудь интервале вещественной прямой ℝ (или на всей прямой), и эта функция обладает производной (хорошо приближается подходящей "линейной" функцией ℓ(x)=λ(x-a)+b в окрестности любой точки а), то эта производная в точке а обозначается f′(a) и является вещественным числом, а если мы рассмотрим точку а как переменную (и вернём ей обозначение "икс"), то получится новая функция f′(x). Правила дифференцирования, тоже известные со школы, утверждают, что вычисление производной - линейная операция: (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x) и (cf(x))′=cf′(x), если с - константа.

А теперь заберёмся вверх ещё на одну ступеньку и посмотрим сверху. Сказанное означает, что дифференцирование - "функция на функциях": она берёт одну функцию и превращает в другую так же, как обычная функция берёт значение аргумента х и превращает его в значение функции f(x). Чтобы не запутаться, кто на ком стоял, мы сохраним термин "функция" за обычными функциями, а "функцию на функциях" будем называть оператором. Полный титул - Его Величество Оператор Дифференцирования. Такой титул даже неловко сокращать до обычного "штриха" (он же тэг, он же "чубчик"), поэтому если мы захотим написать оператор сам по себе, а не результат его применения к какой-нибудь функции, то надо специальный символ. Пускай же будет ∂ (в другой ситуации мы бы могли захотеть дополнительно указать переменную, по которой дифференцировали, и писали бы ∂_x вместо ∂, но у нас переменная будет только одна, и к чёрту ненужные формальности). Линейность ∂ выражается теперь формулами ∂(f+g)=∂f+∂g и ∂(cf)=c ∂f без всяких лишних и мешающих глазу иксов.

Чем хороша математика, - ты делаешь первый шаг, а дальше тебя сразу ведёт незримая сила, и следующие шаги ты делаешь совершенно исподволь, почти против желания. Если у вас есть функции, что вы с ними можете делать, кроме как вычислять их значения в разных точках? Правильно, вы можете готовить из них новые функции при помощи известных (арифметических) операций. Но с чего начать, если ∂ у нас пока один такой? С чем складывать-умножать прикажете?

А вот и нет! Невинная буква с, написанная слева от символа функции, если приглядеться, тоже является линейным оператором! Она превращает функцию f в функцию cf и очевидным образом линейна: c(f+g)=cf+cg, c(bf)=b(cf), если b - ещё одна произвольная константа. Как записывать такой оператор? Если б спросили какого-нибудь безумного логика или ущербного эстетикой биолога, надо было бы ввести обозначение типа M_c. М - потому что Multiplication, а индекс показывает, на какое именно число надо умножать. К счастью, у математиков с эстетикой всё в порядке, поэтому оператор умножения на с мы так и будем обозначать буквой с, получив в своё распоряжение кучу линейных операторов совершенно задаром.

Как складывать-вычитать операторы? да прямо так, как написано: скажем, (∂+c)f = ∂f +cf, (∂ + ∂)f= ∂f + ∂f. Немедленно угадываются другие законы, уже намекающие на умножение: ∂ + ∂=2∂ и тривиальное равенство bc=cb. Линейность ∂ примет форму перестановочного закона: ∂c=c∂ ∀c∈ ℝ.
Чтобы изготовить "произведение" операторов, осталась самая малость: сообразить, что ∂²=∂∂ есть композиция, двукратное дифференцирование, - оператор, отправляющий любую функцию в её вторую производную, ∂²(x)=f″(x).

В результате всех этих (совершенно естественных) построений мы соорудили множество линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами: это - всевозможные выражения вида D=a₀∂ⁿ+ a₁∂^n-1+. . . +a_n-1∂+ a_n с постоянными коэффициентами, которые можно считать как действительными, так и комплексными числами. С алгебраической точки зрения это множество является кольцом: оно замкнуто относительно операций +/- и "умножения"-композиции. Иными словами, с алгебраической/вычислительной точки зрения не должно быть разницы между свойствами таких дифференциальных операторов и свойствами многочленов от одной независимой переменной, скажем, Z (ведь неважно же, какой буквой её обозвать?).

Определение. Линейным обыкновенным дифуром с постоянными коэффициентами (для сокращения - Нашим Дифуром) называется уравнение вида Dy=f, где y=y(x) - неизвестная функция, D - оператор как выше, а f - известная функция. Если f=0, соответствующее уравнение называется однородным и всегда имеет тривиальное (тождественно нулевое) решение. Если вы не узнаёте в этом привычное определение, заменитe ∂ привычным штрихом:

a₀y⁽ⁿ⁾(x)+ a₁y^(n-1)(x)+. . . +a_n-2y″(x) a_n-1y′(x)+ a_ny(x)=f(x).

Как решать Наши Дифуры? Так что же нам надо знать про многочлены, чтобы решать Наши Дифуры? Давайте сначала ограничимся простейшим случаем, когда полином D(Z) имеет первую степень. Например, D(Z)=Z или, чуть более общо, D(Z)=Z-a? Ответ немедленный: y′=0 даёт нам решение y(x)=c₀ (константа), а уравнение y′(x)=ay(x), как хорошо известно, решается при помощи экспоненциальной функции y(x)=c₁e^ax. Вообще надо заметить, что у линейного дифференциального уравнения порядка n множество решений само является линейным пространством размерности n. В переводе на практический язык это означает, что "общее" решение должно зависеть от n произвольных констант, которые определяются из начальных условий.

Простым является также случай D(Z)=Zⁿ: уравнение Dy=0 в этом случае определяет функцию, у которой n-ая производная равна нулю. Очевидно, что это может быть если и только если y(x) - многочлен от х степени не выше n-1 (как и следовало ожидать, зависящей от n констант, своих коэффициентов). Случай D(Z)=(Z-a)ⁿ сводится к предыдущему подстановкой y(x)=e^axu(x): после подстановки получаем для u(x) уравнение Eu=0, E(Z)=Zⁿ. Решение тоже немедленное: y(x)=e^axp(x), где p(x) - многочлен от х степени не выше n-1. Коэффициенты этого полинома - n произвольных постоянных.

Осталось заметить, что произвольный многочлен D(Z) может быть записан в виде произведения D(Z)=(Z-λ₁)^n₁. . . (Z-λ_k)^n_k по всем своим (комплексным) корням с учётом их кратностей: n₁+ . . . + n_k=n. Поскольку кольцо коммутативно, порядок этих множителей произволен.

Поставим на "последнее" место любой из них, соответствующий корню λ_i. Из предыдущих рассуждений следует, что последний множитель "обнулится" на всех решения вида e^λ_i p_i(x) с произвольным полиномом степени n_i-1. Последующее применение других множителей к получившейся нулевой функции оставит её нулём, конечно, так что найденное выражение удовлетворяет полному уравнения.

Перебирая все корни по очереди, таким образом мы наберём полное количество решений Нашего Дифура: других у него не может быть по соображениям размерности (см. замечание выше).

Тем самым вся теория решений Наших Дифуров сводится к алгебраическому утверждению о том, что многочлен раскладывается в произведение.


Ахтунг. Как известно, у вещественных многочленов бывают комплексные корни, которые ходят парами. Если мы не хотим вылезать из уютного вещественного мирка, то теорема о разложении многочлена на линейные множители с кратностями ломается. Но вместо этого можно использовать квадратные множители вида Z²+aZ+b (без вещественных корней) в разных степенях, и вместо комплексных экспонент пользоваться формулой Эйлера. Это даст нам решения вида e^(α±iω)xp(x), где α,ω - действительные и мнимые части комплексного корня.

Для деловых людей. Практикующим клиентам совсем не интересно за свои деньги иметь n-параметрическое "общее решение" Нашего Уравнения. Почти всегда их интересует "конкретное решение", повязанное теми или иными начальными, интегральными или общими краевыми условиями. Рады сообщить нашим заказчикам, что с этим делом они могут пойти в другой отдел нашей конторы, - "Линейная Алгебра". Там все ваши общие константы найдут в два счёта, посчитав парочку определителей. С краевыми задачами, скажем, вида y(0)=y(1)=0 уже может быть затык и решения будут существовать не всегда (физики вам начнут в этом месте петь оратории про спектры операторов, хотя в сущности речь о том, что на отрезке надо всегда уложить целое число полуволн синуса). Но это уже совсем другие расценки, извините.

Как решать Не Совсем Наши Дифуры? Сказанное выше относится только к однородным уравнениям вида Dy=0. Если вместо этого нам дают решить уравнение вида Dy=f, где f - ненулевая функция, то технология несколько меняется. Теоретически, зная все решения Нашего Дифура, можно свести решение Не Совсем Нашего Дифура к интегрированию функций, но на практике мы всё равно умеем интегрировать в явном виде очень мало чего. Как всегда, спасает божий промысел: отчего-то в большинстве приложений в правой части появляется вовсе не абы какая функция f, а функция, сама являющаяся решением (другого) Нашего Дифура. Например, - полиномы, синусы-косинусы, экспоненты и их комбинации.

В этой ситуации мы имеем "гибридную" систему уравнений Dy=f, Ef=0, где D,E - два разных Наших Оператора, соответствующие двум разным многочленам от Z. Как свести такую "систему" к одному Нашему Уравнению? да проще некуда. Умножим первое уравнение на E. Это "убьёт" f, а для y получим уравнение (DE)y=0, Наше донельзя. Более того, корни (и кратности) многочлена DE очевидным образом определяются по корням многочленов D и E соответственно. Всё, замените D на DE (или ED, что одно и то же) и ставьте чайник снова на плиту.

Что такое резонансы? Структура решений Наших (однородных) уравнений полностью описана, можно и насладиться плодами. Как ведёт себя произведение e^(α±iω)xp(x), когда x неограниченно возрастает? Этот вопрос по понятным причинам называется "устойчивостью" уравнения и критически важен. Если у нашего уравнения есть решения, неограниченно возрастающие, когда "время" х растёт, мы говорим о неустойчивости. Если же, наоборот, все решения остаются ограниченными или затухают до нуля, - уравнение называется устойчивым. Разница между однороным Нашим Дифуром и неоднородным Не Совсем Нашим соответствует разнице между системой, предоставленной самой себе ("автономной") и системой, на которую подаётся внешний сигнал f. Может ли внешний сигнал "раскачать" Наш Дифур, сделав его из устойчивого неустойчивым?

В применении к Нашим и Не Совсем Нашим Дифурам ответ даётся принципом "экспонента (почти) всегда побеждает полином". "Чистая" экспонента e^(α±iω)x по абсолютной величине неограниченно растёт, если α>0, убывает до нуля, если α<0 и бесконечно колеблется в сомнениях, если α=0 ("нейтральный" случай). Наличие дополнительного многочлена не меняет картину при ненулевых значениях α, но становится критически важным в "нейтральном" случае, при условии, что степень полинома - больше нуля: в этом случае наряду с "нейтрально устойчивым" решением вида c₀ sin ωx появляется неустойчивое решение (c₀+ c₁x) sin ωx.

В применении к Нашим (однородным) Уравнениям, это означает, что:

1. Если все корни многочлена D(Z) отрицательны (или имеют отрицательные вещественные части), то все решения Нашего Уравнения экспоненциально затухают со временем;
2. Если у многочлена D(Z) есть положительные корни (или корни с положительной вещественной частью), то есть решения, растущие экспоненциально быстро.
3. Если все чисто мнимые корни D(Z) простые, а остальные отрицательны (или имеют отрицательные вещественные части), то нет растущих решений. Клиенты говорят, что уравнение устойчиво.
4. Если есть кратные чисто мнимые корни, то есть неограниченно растущие решения (уравнение неустойчиво).

Что происходит, когда мы "включаем" правую часть и рассматриваем уравнение DEy=0? Из сказанного следует, что:

1. Если "сигнал"/"возмущение" f неограниченно усиливается, то есть неограниченно растущие решения (тоже мне, удивили).
2. Если сигнал f ограничен (все корни многочлена E(Z) неположительны или имеют неположительные вещественные части), то возможен один из двух вариантов:
   
   
   • Если E(Z) и D(Z) нe имеют общих чисто мнимых корней, то все корни DE(Z) останутся простыми, и неограниченных решений не будет;
   • Если есть общий (чисто мнимый) корень, простой и для D и для Е по отдельности, то он становится кратным для произведения DE, что делает соответствующее уравнение неустойчивым.  

Именно это явление называется резонансом. В бытовых терминах оно описывается так: имеется устойчивый однородный Наш Дифур, все решения которого либо затухают, либо колеблются с ограниченной амплитудой (а кто в наши дни не колеблется?) Мы начинаем дёргать правую часть Нашего Дифура за верёвочку, не переходя грани приличия (ограниченная синусоида). И вдруг оказывается, что такая комбинация способна произвести неограниченную раскачку решений, если "частота" дёрганья верёвочки (мнимая часть корня Е) совпадёт с "собственной частотой" (мнимой частью чисто мнимого корня D) исходной системы.

А в анекдотическом примере про солдат и мост, - колебания моста описываются теми же уравнениями, что колебания струны, закреплённой с двух сторон, и там есть свои "корни" (привет пифагорейцам). Солдаты в строю шагают с собственной частотой, которая в реальных примерах часто опасно близка к частоте колебаний моста. Как раз тот случай, когда надо "размазывать" частоты по максимально широкому интервалу, чтоб не ...бнуло.

Дойдя до этой точки, надо было бы для очистки совести написать полдюжины дисклеймеров. Самый главный - что коммутативность кольца Наших Операторов (с постоянными коэффициентами) немедленно исчезает, если мы рассматриваем операторы с непостоянными коэффициентами. Желающие да посчитают оператор ∂ x-x∂, где x - разумеется, оператор умножения на икс, переводящий f(x) в xf(x). Но это уже факультативный сюжет.

Comments

[brevi]

Это, так сказать, идеальный резонанс, имеющий нулевую вероятность в народном хозяйстве. Реальный резонанс — это неожиданно (для чайников) резкий всплеск амплитуды ответа на выходе как функции амплитуды накачки на входе, когда мнимые части всего лишь приближаются друг к другу, но не обязательно совпадают.

[xaxam]

Я ставил себе задачу уложиться в две страницы без формул.

[brevi]

Ну это как бы интуитивно очевидно, что множитель для амплитуд должен быть гладкой функцией там, где он определен: если он равен бесконечности в точке, где частота накачки совпадает с одной из собственных, то, следовательно, должен иметь очень большие значения в её окрестности. Важны не формулы (для этого есть извозчики), а качественный результат.

[brevi]

Кстати, герр Профессор, у меня к вам вопрос по вашей интерпретации промысла Всевышнего в нашей кухне. Если Он действительно так к нам благоволит, что сделал массу всяких уравнений интегрируемыми в явном виде, то почему это не относится к фундаментальным решениям простейших линейных систем dx/dt =A(t)x с непостоянными А(t)? Почему упорядоченная матричная экспонента в общем случае не имеет явного выражения с разложением матрицы коэффициентов по какому-нибудь базису с удобными коммутационными свойствами, даже для 2x2? Есть ли более глубокое объяснение, почему, например, Риккати с переменными коэффициентами настолько сложнее, чем с постоянными, кроме как свалить всё на «некоммутативность»?