Матан для ботанов

[xaxam]

Матчасть для прачек и их самцов-математиков

Как описать распространение инфекционной болезни? Массой возможных способов, имеющих разное отношение к действительности.

Ниже приведён самый простой способ, простой, как суп из топора. Он приводит к линейной детерминистической модели без учёта географии распространения вируса. Нам понадобится несколько числовых параметров и три функции одного переменного.

1. "Инкубационный" период τ (на самом деле - полный цикл жизни вируса в человеке, до смерти или до выздоровления).
2. Функция заразности φ(s), определённая и неотрицательная на [0,τ]. Она показывает, сколько человек успевает заразить за единичное время больной, сам подцепивший вирус s дней назад. Её интеграл ∫₀^τφ(s) ds примерно соответствует общему числу людей, которое успевает заразить вирусоноситель за весь цикл (если сам не помрёт раньше). Совершенно не обязана быть постоянной и при наличии обследования и карантина обращается практически в нуль около правого конца отрезка.
3. Функция смертности ψ(s), показывающая, какой процент инфицированных больных умирает на s-й день после того, как подцепили заразу. Её интеграл - общая смертность от заразы.
4. Функция "симптомности" σ(s), показывающая, у какой доли больных симптомы проявляются на день s (и, значит, может включаться механизм карантина и лечения). Единица минус её интеграл - вероятность того, что болезнь пройдёт вообще бессимптомно, хотя разносчик инфекции будет работать на полную ставку.
5. Эффективность обнаружения и карантина: функция 0 < c(t) < 1, показывающая, какую долю людей с симптомами удалось обнаружить и "вывести из игры", посадив на карантин. Зависит от китайцев и их НОАК.

После этого "основное уравнение баланса" выглядит, как строчка из бухгалтерской книги: пусть x(t) - число носителей вируса в день t. Тогда

dx(t) / dt = ∫₀^τφ(s)x(t−s) ds − ∫₀^τψ(s)x(t−s) ds − c(t) ∫₀^τσ(s)x(t−s) ds

В переводе на русский: изменение числа вирусоносителей равно свежезаразившимся в этот день (первый интеграл) минус число умерших (на воле) минус число изолированных носителей с симптомами. Можно отдельно считать, написав другое уравнение с другой "функцией смертности", сколько людей умрёт в карантине, но получая адекватную медицинскую помощь.

Для занудных профи: чего модель НЕ УЧИТЫВАЕТ, но несложно подкрутить, чтоб учитывала:

• Разные когорты населения (дети, молодые, средний возраст, старики, группы риска). По хорошему x(t) должна была бы быть векторной величиной, а разные функции ...-сти - векторнозначными (разными для разных когорт).
• Эффект насыщения: когда носителями инфекции становится большая часть населения, скорость появления новых носителей становится сублинейной, поскольку встретить незараженную жертву становится труднее и труднее.
• Симптоматика тоже не бинарна (есть/нет кашель и жар), соответственно, картина более смазанная. По хорошему, смертности от бессимптомной болезни не бывает, поэтому один из интегралов надо бы заменить на двойной, но уж хрен с этим.
• Для пущей красоты уравнения должны быть стохастическими, поскольку все процессы случайные, но это переводит нас в другую лигу.
• Очень красивая наука получится, если вместо функции одной переменной x(t) рассмотреть географию распределения заболевания по территории. В эпоху пешего передвижения в модели появился бы лапласиан, отвечающий за "диффузию" вируса случайными блужданиями, сегодня будет совершенно другая картинка с учётом транспортной сети и авиаперевозок. Только в такой модели можно полностью исследовать эффект карантина. Но это тоже другая лига с точки зрения матана.

Что принципиально нельзя учесть никакими крючками: распространяясь, вирус мутирует, меняя все параметры в задаче. Обычно такие мутации играют "в нашу пользу", - но никаких способов предсказать их скорость и направление, кроме опыта эпидемиологов, нет. Написанный баланс работает только до следующей мутации и не больше, а дальше меняются "параметры" и начинай сказку с начала. Если верить Голливуду, мутации обычно спасают земную цивилизацию в последний момент. В крайнем случае, нужен селеновый шампунь.

Что такое "начальные условия" для данной модели? В тот момент (пускай это будет t=0) когда мы обнаружили первого больного, для построения решения нам надо знать не одно "начальное значение" (начинается всё всегда с одного первого случая обнаружения симптомов), а всю предысторию функции x(t) на всём интервале [-τ, 0]. Разумеется, взять её принципиально неоткуда, да и сам горизонт τ мы знаем очень ориентировочно. Впрочем, остальные функции ничуть не лучше: они нам неизвестны, и даже их интегралы можно только оценивать с точностью до порядка.

Какой же тогда смысл в тех "данных" о смертности, заразности и прочих цифирьках, даже если предположить, что китайцы нам не врут и текущие значения от интегралов φ, ψ правдивы (функция σ принципиально плохо наблюдаема)?

Ответ: среди бесконечномерного пространства решений дифура (со всеми возможными начальными условиями) в предположении, что с(t)=c (эффективность карантина) есть константа, имеется экспоненциальное решение вида x(t)=e^λt, сопровождаемое постоянной долей смертности аe^λt и долей выздоровления (1 − а)e^λt. Вычислить λ легко через интегралы от ...-стей.

А дальше - всё в руце божией. Если окажется, что λ > 0, то мы все умрём™. Если λ⋜0 - будем жить. В любом случае, подставив экспоненциальное решение в уравнение, мы получим "вдоль него" значения "показателей" заразности, смертности и т.д. Повторю ещё раз для кухаркиных мужей: эти "константы" (значения преобразований Лапласа от функций φ, ψ в точке λ) имеют физический и медицинский смысл только для "экспоненциального" решения, которое, возможно (доказывать надо) описывает предел нашего интегродифференциального уравнения, когда t → ∞.

На малых временах ни о каком "предельном поведении" речь идти не может: при оценке τ между 3 и 15 днями (хороша точность!), мы наблюдаем процесс примерно в течение 50 дней, это около 3τ. На таких временах решение практически полностью определяется совершенно неизвестными нам начальными условиями x(t), t∈[−τ, 0], и нет никаких оснований считать функции φ, ψ константами. Соответственно, любые попытки отнять, поделить и перемножить численность заболевших, выздоровевших и умерших, чтобы "замкнуть" модель, бессмысленны чуть менее, чем полностью.

Люди с опытом анализа конкретных эпидемий могут, наверное, предсказать какие-то паттерны для начальных данных и вид функций φ, ψ, σ (логистические функции, нормальные распределения, пуассоновские зависимости), сведя их к небольшому количеству констант (совсем не тех, которыми кухарки манипулируют) и по имеющейся статистике попытаться эти константы задним числом посчитать. Может, тогда и зловещую лямбду сможем оценить. Но пока, если вы увидите мудака, с учёным видом излагающего такую вот хуйню, - гоните его сцаными тряпками: это прохиндей, даже если у него все регалии развешаны на нужных местах.

Дисклэймер: я сорок лет не при делах и не в теме (были более интересные задачи), и почти наверняка написанное выше написано со всеми подробностями в хороших учебниках по популяционной динамике. Я не претендую ни на йоту оригинальности, просто хотел тряхнуть сединой-мудиной, показав, насколько невежественна бОльшая часть комментаторов в том, что профессионалы знали десятки лет назад. Хорошо, если комментаторы пишут только в ЖЖ, а то ведь они норовят в Вестнике Агроэпидемиологии отметиться (средними авторами статей) и засчитать себе в хуемерку.

Китайская специфика (апдейт)

Я поторопился с интерпретацией функции ψ как смертностью от болезни. Математический смысл её - описать "естественное выбытие" из числа вирусоносителей. В случае эпидемии такое случается двумя способами: носитель либо умирает, либо выздоравливает, самостоятельно или с помощью эскулапов.

В китайском случае смертей "на улице" почти нет (надеюсь), печальное выбытие из "активных носителей" происходит исключительно через госпитализацию и карантин. Поэтому правильно интерпретировать функцию ψ(s) как вероятность больного (носителя) самопроизвольно поправиться в s-й день с момента инфицирования. Соответственно, интеграл от неё - вероятность выживания без помощи медицины (а вовсе не смертность, хе-хе).

Смертность надо анализировать при помощи другого уравнения, описывающего динамику болезни в условиях карантина. Я не стал его выписывать, и не зря: оно немного более сложное, чем первое. Там нет взаимозаражения: увеличение численности происходит только за счёт отлова носителей "на воле". Приходная часть этим ограничена. Соответственно, расходная часть немного усложняется: в каждый конкретный день больной имеет три возможности: умереть, выздороветь и перейти на следующий уровень без изменения. Соответственно, нужно две функции, - вероятности двух из трёх событий (третье - дополнение до единицы). Собрать статистику, чтобы эти функции оценить, было бы проще, если бы на каждом больном была наклейка - когда точно он заразился, но и без неё можно.

Пояснение для katyat

Чем сказанное выше отличается от рассуждений прачки-самца? Ответ: всем. Если мы пренебрегаем фактором задержки, то отвёрткой на коленке мы всё ещё можем сваять дифференциальное уравнение (без интегралов) баланса:

dx(t)/dt=R₀x(t)-Cx(t)=λ x(t)

В этом уравнении есть только две константы - заразность вируса и эффективность карантинной госпитализации. Послюнив палец, прачки пытаются задним числом определить эти константы, рисуя графики наблюдаемой фунцкии Cx(t) (не зная при этом саму константу С) на логарифмической бумаге (переменная x(t) ненаблюдаема без того, чтобы проверять на вирус ВСЁ население).

А на самом деле этих констант НЕТ, точнее, их можно вычислять по любым методикам, но отношение к действительному распространению эпидемии они будут иметь только тогда, когда исчезнет эффект от неизвестных начальных данных.

Чтоб понятным языком, - человек прыгнул в прорубь, поплескался, а на выходе ему ставят градусник под мышку. Какой смысл имеют показания? Сначала градусник покажет очень низкую температуру, хоть и выше, чем температура воды в проруби. Потом кровь прильёт к охлаждённой коже, и температура подымется выше обычной. И только спустя некоторое время можно будет решать, здоров ли человек, или у него лёгкий жар 37.5.

Comments

[galgal]

А как Вы относитесь к картинкам, которые рисуют гонконгские учёные?

[xaxam]

Никак. Без дополнительных комментариев, как устроена модель, это всё ерунда. Я пытался объяснить, что на данном этапе мы не можем ограничиться тем, чтобы играть с системами линейных дифуров, - мы всё ещё на начальном периоде, когда основные параметры неизвестны. А "условные предсказания" - это в пользу бедных всегда и везде. Если купите лотерейный билет, и он выиграет, ваша жизнь переменится к лучшему непередаваемо.

В моём тексте тоже есть такой параметр λ, каждый может сам попытаться его оценить.

[(Anonymous)]

На одну из причин "замедления темпов прироста" надысь натолкнулось франспресс.
По информации агенства имеющиеся в ухани в наличии врачи загружены под завязку и падают с ног от усталости.
Времени и сил фиксировать заболевания свыыше своих возможносьей у них тупо нет.