Увеличим темпы роста производительности труда!

[xaxam]

Что такое производная?

В кои-то веки повод поговорить о чём-то без срача. У Яши обсуждается вопрос о том, почему "тупые" клипы пользуются большей популярностью, чем хорошие учебники, на примере того, что такое производная.

Попробую на одной ноге пояснить, почему на этот вопрос есть много разных ответов.

На "бытовом" уровне понятие производной, видимо, было ясно уже Архимеду (а понятие касательной к кривой - Аполлонию). Средняя скорость, вычисленная на бесконечно коротком промежутке времени ("мгновенная скорость"), секущая, проходящая через две бесконечно близкие точки - понятия настолько самоочевидные, что не понять их может только круглый дурак, философ или математик.

Математик занудствует: если мы двигаемся (по прямой) по закону x=f(t) с известной функцией f, то средняя скорость на отрезке [t,s], t<s, равная (f(t)-f(s))/(t-s), зависит от двух переменных t,s, а нам хочется, чтобы ответ зависел только от одной переменной t. Попытка подставить s=t не канает: формула даёт отношение двух нулей, не имеющее смысла вне контекста.

На занудного математика можно было бы наплевать, - в конце концов, кому нужна эта мгновенная скорость, - если б не его фамилия. Ньютон его звали. И помимо математики, он ещё занимался натурфилософией и, поглядывая на несколько примеров, он придумал, как описать Мироздание. Оказалось (никаких философских причин к тому нет), что Мироздание описывается дифференциальными уравнениями: ускорение (вторая производная координат) любого тела определяется действующими силами, т.е., положением тела (по отношению к другим телам) и его скоростью (при наличии трения и пр., а так-то от скорости не зависит). Тут уж воленс-ноленс надо разбираться, что такое производная и как делить ноль на ноль.

За гуж взялись Ньютон и (на континенте) Леибниц. Лейбниц был философ, и ему хотелось дойти во всём до самой сути. Ньютон был не только математиком и физиком, но ещё и инженером (кроме того, на его совести изрядно приказов, посылавших на виселицу фальшивомонетчиков, но это не очень релевантно). Лейбниц начал развивать общую теорию, в которой помимо обычных чисел, есть ещё бесконечно малые. С точки зрения сложения и умножения с обычными числами, они ведут себя, как нули. А вот промежду собой у них особые отношения, в частности, можно одно бесконечно малое число поделить на другое и получить "обычное" число в ответе. Такую арифметику без поллитры не понять, и до двадцатого века (нестандартный анализ Робинзона) она оставалась уделом физиков: здесь пишем, здесь не пишем, здесь рыбу заворачиваем. Интуиция помогала.

Ньютон пошёл по другому пути.

Предположим, что функция f(t) - многочлен, т.е., сумма степеней tⁿ, n=0,1,2,... с какими-то коэффициентами. Тогда разность f(t)-f(s) есть сумма разностей tⁿ-sⁿ (с теми же самыми коэффициентами). Но каждая такая разность делится на t-s: при n=2,3 эту формулу проходят классе в 3-м или 4-м, а в общем случае её доказательство не представляет никаких трудностей: tⁿ-sⁿ=(t-s)(t^n-1 + t^n-2s + t^n-3s²+ ... +s^n-1). Иными словами, разделённая разность (f(t)-f(s))/(t-s) является многочленом от t,s: никаких знаменателей не осталось, и в этот многочлен можно подставить значение s, в точности равное t, без малейших проблем. Бинго!

Правда, во времена Ньютона уже были известны кое-какие функции, не являющиеся ни полиномами, ни даже рациональными функциями (частными двух полиномов). Логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции... Как считать их производные? Ответ Ньютона был термоядерным. Да, эти функции - не обычные полиномы (конечной степени), конечно, но они - полиномы бесконечной степени по t, в крайнем случае - по (t-a) с подходящим сдвигом а, и формулы дифференцирования работают и в этом случае. Называются они ряды Тейлора, и каждый уважающий себя математик знает, как их писать.

Выпускник колледжа в 20 веке (не уверен за 21-й), конечно, скажет, - а почему эти ряды сходятся? Во времена Ньютона вопрос был бессмысленный. Ряды нужны были, чтобы вычислять ответ с той точностью, с какой нужно. Какую ошибку мы делаем, обрывая ряд в конкретном месте? зависит от ряда, самый простой способ - сравнить оборванный хвост с оборванным хвостом самого простого известного ряда, геометрической прогрессии 1+at+(at)²+...+aⁿtⁿ+..., для которого ответ общеизвестен. Расходящиеся ряды в "естественных" задачах впервые встретились только Эйлеру, гораздо позже, а всерьёз ими озаботились только в 19-м веке. Во времена Ньютона не было неаналитических функций, да и недифференцируемые функции тоже существовали только в арсенале антисемитов, чтобы заваливать евреев на экзаменах.

Но время шло, к началу 19 века изменилось понятие функции, и в начале того века Коши, монархист и лимоновец (очень аморальный человек был) таки понял, что без двух переменных s,t в определении предела не обойтись, и соорудил свою уродливую эпсилон-дельта-конструкцию. A потом уже пришёл царь Вейерштрасс, который принял ярмо Коши как неизбывную данность, расширил понятие функции до совершенно неприличной общности (любое отображение безотносительно того, задаётся ли оно формулой, алгоритмом или бесконечным процессом) и пошёл в неконтролируемый загул. В результате чего оказалось (к ужасу Ньютона и Лейбница, если б они дожили), что бывают везде непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке, и много ещё каких монстров.

Но инь не бывает без яня, а дифференцирование - без интегрирования, да так, чтобы эти две операции были связаны естественным образом (формулой Ньютона-Лейбница, так, чтобы интеграл от производной возвращал бы обратно функцию). Но интегрирование - совершенно другой природы операция, требующая от функций гораздо меньшей регулярности (например, допускаются точки разрыва). Более того, относительно быстро обнаружилось, что если интеграл считать не как предел "обычных" сумм Римана (как это делается для непрерывных функций), а при помощи меры Лебега, то класс интегрируемых функций удаётся ещё изрядно расширить. В частности, на интегрируемость функции не повлияет произвольное изменение её значений на множестве меры ноль (такие множества бывают не только бесконечными, но и несчётными). Что будет, если от такой подпорченной функции возьмём интеграл с переменным верхним пределом? насколько дифференцируемой будет такая первообразная? будет ли справедлива формула Ньютона-Лейбница?

Дальше - больше. Войдя во вкус хочется научиться дифференцировать даже функции, явно не имеющие классической производной. Пример, - функция-"ступенька", равная нулю при отрицательных иксах и единице - в нуле и положительных точках. Её производная - "единичная точечная масса", сосредоточенная в нуле, и ноль во всех точках. Чтобы ФНЛ выполнялась, надо, чтобы интеграл от этой производной по любому отрезку равнялся нулю, если отрезок не содержит точку x=0, и единице - если содержит. Такой функции быть не может (иначе мы исправили бы её в единственной точке и получили тождественный ноль), с другой стороны, все физики пользуются понятием точеченой массы без малейших комплексов, несмотря на "бесконечную плотность" такой абстракции.

Зачем такая несуществующая уродина и ей подобные нужна математикам? а чтобы решать дифференциальные уравнения. Вот простейший пример, волновое уравнене u_tt-u_xx=0. Его решением являются "бегущие волны", выражения вида u(t,x)=f(t-x) и v(t,x)=g(t+x) (бегущие направо и налево соответственно), в которых профиль волны задаётся функциями f, g соответственно. Если подходить к делу формально, то для выполния уравнения нужно наличие двух производных у f,g. Но ясно, что и недифференциуемые профили, например, f(s)=|s|, тоже порождают решения. В каком смысле эти функции без настоящих производных могут удовлетворять дифференциальному уравнению?

Пример вовсе не такой искусственный. Мы не знаем, существует ли решение для дифференциального уравнения, описывающего течение обычной воды. Вода течёт, а объяснить, как она это делает - пока никак (за решение задачи назначена премия - лимон баксов, пока кандидатов нет). 

С этой проблемой справились только в 20-м веке математики, многих из которых я успел увидеть живьём. Оказалось, что понятие функции можно расширить настолько, что дифференцировать можно будет почти любую. Цена вопроса, - приходится выписывать свидетельства о рождении монстрам, дотоле невиданным. Новые, "обобщённые" функции (distributions in English) лишь очень редко оказываются обычными функциями: они вообще сделаны совсем из другого теста (если есть желание, я мог бы попробовать рассказать подробнее). Например, у обобщённых функций нет однозначно определённого значения ни в какой точке. Хуже того, их можно складывать между собой и умножать на числа, но уже вообще говоря нельзя перемножать между собой. Поэтому никаких разделённых разностей, никаких привычных пределов - производная считается совсем по другим канонам. Хотя, разумеется, если "обобщённая" функция является "обычной", никаких новых неожиданностей не будет.

Это всё к тому, что вопрос "Что такое производная" - совсем не детский. 

Comments

[malobukov]

А как Ньютон делал ряды Тейлора до Тейлора? Они вроде и исторически появились позже, и строятся с использованием производных. Если производные из них определять, какой-то замкнутый круг получается.

Или были какие-то другие приближения нехороших функций многочленами? Понятно, что можно поставить на функции точек и провести через них многочлен, но неочевидно, что этот многочлен будет на функцию похож между поставленными точками.

[xaxam]

Нет, степенные ряды появились гораздо раньше. Я не исследовал специально этот вопрос, но почти очевидно, что первым таким рядом была геометрическая прогрессия. Ряды - почти такой же удобный объект, как полиномы: их можно складывать, перемножать, очень легко делить на степенной ряд, свободный член которого не равен нулю, ... Общей теории не было, но у того же Эйлера есть "примеры", когда он иллюстрирует свои рассуждения конкретными вычислениями с рядами из десятка и больше членов. Любому человеку в этот момент становилось понятно, что там, где десяток - там и любое нужное число членов.

Я хочу подчеркнуть: ряды для Ньютона и Эйлера были НЕ приближениями "нехороших" функций, они САМИ БЫЛИ функциями, подлежащими исследованию. Преимущества ряда - он действительно позволяет вычислять значения функций с любой точностью, а кроме того, в него можно вместо икса подставлять что угодно: комплексное число, матрицу, ...

[brevi]

Лимон баксов предлагается тов. Клэем за доказательство единственности решения трёхмерного Навье-Стокса (или, что эквивалентно, его регулярности). Существование же такого решения было доказано Лерэ ещё в 1931-м, что ли. Так и живём с тех пор...

[xaxam]

Тут вот написано "за доказательство существования гладкого решения". Что именно доказал Лерэ?

[brevi]

Существование глобального (т.е., в течение произвольно долгого интервала времени) слабого решения в обобщенных функциях. Кроме того, хорошо известно существование локального сильного (и поэтому, гладкого) решения на коротких интервалах. Из гладкости также следует единственность — поэтому мы знаем, что слабое решение локально единственно, но не более того. Про остальное — вопрос открыт.