Не сломай ничего

[xaxam]

Б...ская задача

Меня сегодня вздели на понт. Задача из "школьной геометрии" (прошу прощения у тех, кто знал). Как мне кажется, Толе avva должно понравиться.

Есть равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине В, равным 20 градусам. Из вершины А при основании проводим прямую под углом в 50 градусов к основанию, пересекающую сторону ВС в точке E. Аналогичным образом из вершины С при основании проводим прямую под углом 60 градусов к основанию, пересекающую сторону АВ в точке F.

Найти угол между прямой EF и хоть какой-нибудь из сторон треугольника.

Я слился: решение через теорему синусов просматривалось сразу, но наверняка ведь не оно имелось ввиду. Так и оказалось.

Вот несколько подсказок (белым шрифтом, чтоб не портить кайф любителям поломать голову):

1. Подсказка 1: если заменить углы 20, 50, 60 на α,β и γ,  никакого красивого ответа не получится.
2. Подсказка 2: достроить треугольник до правильного 18-угольника. 
3. Подсказка 3: (решение) после такого достроения все отрезки, упомянутые в задаче, оказываются диагоналями правильного 18-угольника. Углы между ними - кратные дуге в 10 градусов.

Интересно, что почтенная общественность скажет по поводу этой задачи. У меня - два тезиса:

1. Человек, придумавший эту задачу - сумасшедший гений (я могу попытаться развернуть этот тезис);
2. Такую задачу не стоит давать на олимпиаде школьников любого уровня.

То же самое в версии light. Дан угол в 19 градусов, поделить его циркулем и линейкой на 19 частей.
Решение: 19х19=361.

Comments

[nsg21]

Меня тоже всегда возмущало что угол 1° нельзя построить циркулем и линейкой.

[cjelli]

Кто-то сообразил, что раз диагонали правильного многоугольника делят его углы на 180/N, то, подставив N=18, можно изрядно поразвлекаться.

[chaource]

Кто-то сообразилъ, что если какой-то уголъ пририсовать самому къ себѣ стопиццотъ разъ, то получится правильный 100500++-угольникъ и изъ этого можно сдѣлать много-много олимпiадныхъ задачъ, которыя почти никто не рѣшитъ, потому что не догадается до такого маразма - а это вѣдь то, что надо.

[xaxam]

Магия круглых чисел возникает из-за равенства 180:18=10.

Если серьёзно, то вот.

[epimorphisms_split]

Не боясь сойти за полного дебила, спрошу: как сразу углядеть, что EF таки лежит на этой б...ской диагонали? Я что-то не могу. Если что, я знаю другое решение, так что доказать этот факт могу, но док-во выходит не проще решения исходной задачи. Что я пропускаю?

[(Anonymous)]

19*19=361

Можно еще точнее:
достраиваем к вершине угла круг
делим циркулем и линейкой на 8 частей
19+45=64
64 напополам до единицы делится в 6 итераций.
Повторяем для каждого градуса пока не разлинеем весь угол

[cjelli]

Зачем круг?
Строим перпендикуляр к стороне и делим прямой угол пополам.

[brevi]

Mножество градусных мер углов, которые строятся циркулем и линейкой -- {90, 60, 45, 30, 15, ...} -- очевидно, замкнуто относительно сложения, вычитания меньшего из большего, и уполовинивания. Добавляем угол в 19 градусов и ищем любой способ получить 1 градус: например, 19 - 15 = 4 и два раза уполовинить -- всё, приехали. Но решение про 19х19=361 градус таки да, остроумнее...