Психологический практикум

[xaxam]

Искусство игнорировать

В процессе обдумывания вопросов в комментах я сообразил, что есть одна фича в математическом языке, которой математики пользуются совершенно естественно и свободно, а для остальных она может с непривычки быть серьёзным психологическим барьером.

Собственно, не может, а уже была: пресловутая "колмогоровская реформа" школьной математики, от которой и у учителей и у учеников осталось ощущение хтонического ужаса, свелась к дискуссии, - чем "равенство фигур" отличается от "конгруэнтности". Никто понять его не мог, и весь Минпрос там занемог.

А дело в том, что в математике понятие равенства - очень суровая штука. Равенство подразумевает, что два чтоугодно по разные стороны от него, обладают полностью идентичными свойствами. Нельзя приравнивать друг другу яблоки и груши, даже если их число одинаково. Нельзя приравнивать физические величины разной размерности, даже если в СИ их численные значения совпадают. Нет никакого равенства людей перед законом, потому что нет двух равных людей (равенство перед законом имеется в виду, когда говорят, что в законе нет отдельной статьи для Хаима, и отдельной - для Зямы). Ноль как число не равен нулевому вектору, а тот - не равен нулевой матрице или тождественно нулевой функции. Более того, математик-пурист скажет, что ноль как целое число и ноль как комплексное число, - тоже чуть-чуть разные нули, но тут уж терпение лопнет у кого угодно.

С другой стороны, некоторые вещи настолько "похожи" друг на друга, что это обстоятельство непременно надо специально отметить. Например, когда мы говорим "окружность" (подразумевая окружность на плоскости), что мы имеем в виду? Тут существенно, что в русском языке нет артиклей, что делает последующее изложение немного лингвоспецифичным. Если мы говорим the circle, то это обозначает некоторое конкретное множество точек плоскости, находящихся на одинаковом (положительном) расстоянии от центра. На одной и той же плоскости можно нарисовать this circle и that circle, и ваш собеседник вас поймёт, если вы покажете пальцем или обозначите их разными именами. А вот сочетание a circle означает множество, принадлежащее к большому классу кривых, которые можно начертить циркулем. Как такую фигуру задать однозначно (как множество)? Ответ общеизвестен: центром и радиусом. Проговоривши это вслух, мы однозначно договорились, что такое "окружности" и что такое "данная окружность". Но мы твёрдо знаем, что окружносту бывают маленькие и большие, и в этом смысле они неравные. А если окружности одинакового радиуса, - они как, равные?

Правильный ответ - нет. Как множества точек, две окружности с одинаковыми радиусами могут не пересекаться, пересекаться частично или полностью совпадать (если совпадают их центры). Только в последнем случае мы имеем основания говорить, что они равны. А для остальных случаев нам нужно новое слово. Можно было бы пользоваться словом "одинаковы", но с этим есть небольшая психологическая проблема. Слово "одинаковый" взято из бытового разговорного языка, и как всякое такое слово, имеет слегка расплывчатый смысл (для кого-то все яйца одинаковы, а кто-то различает L и XL). Даже если мы "определим" логически корректно значение понятия "одинаковый", наши ассоциации будут нам мешать. Самый надёжный способ избавиться от подобной опасности (договорились об одном, а говорим о другом) придумали философы и схоласты. Надо взять слово из какого-нибудь иностранного или мёртвого языка, с которым ни у кого ничего не ассоциируется, и начать им пользоваться только во вполне определённом смысле. Вместо "одинаковости" мы будем говорить о конгруэнтности. Разные окружности одного радиуса - всего лишь конгруэнтны и только очень изредка равны.

Ну хорошо, с окружностями разобрались. Но они - только один класс фигур, а есть ещё трапеции, треугольники, прямоугольники и прочее зверьё из школьных задачников. Как быть с ними? С равенством - понятная проблема, но можно ли как-нибудь определить конгруэнтность и для них?

Можно пойти путём зоологов: расковырять и изучить каждый вид фигур, выяснить, чем они характеризуются (углы, длины сторон, параллельность и т.д.)., а потом сказать, что-де две фигуры одного вида конгруэнтны, если все ключевые параметры у них попарно равны.

Математики предпочитают менее прямолинейный подход и всегда стараются положить подальше, чтоб потом брать поближе. Можно определить, что такое преобразование плоскости, и начать уже эти преобразования рассаживать по клеткам (вместо отдельных фигур). Самое простейшее преобразование - тождественное, оно не делает вообще ничего, и нужно нам только для нужд языка, когда (если) мы будем говорить о группах преобразований. После тождественного отображения самые простые преобразования - параллельные переносы. Кроме них, есть вращения вокруг точки, есть отражения в прямых линиях как в зеркале - все эти преобразования примечательны тем, что они (и только они) не меняют расстояния между точками. Есть подобия (гомотетии) - эти меняют расстояния, но все - в одно и то же число раз, сохраняя при этом углы. Есть преобразования, сохраняющие прямолинейность, сохраняющие параллельность прямых на плоскости... (а ещё есть непрерывные нелинейные преобразования, дифференцируемые, - имя им легион).

Так вот. Две фигуры называются конгруэнтными*, если "их можно совместить при помощи движения плоскости, сохраняющего длины и углы". Это определение стилистически и синтаксически не отличается от определения подобия: "две фигуры называются подобными, если их можно совместить при помощи преобразования плоскости, сохраняющего углы и меняющего расстояния в одно и то же число раз". С определением подобия почему-то никаких психологических проблем у школьников нет, правда. Почему я поставил звёздочку* выше? да потому, что я не помню, считались ли в школьном курсе зеркальные фигуры на плоскости конгруэнтными или нет. Это в чистом виде вопрос удобства: надо только договориться, какое из двух возможных определений мы имеем в виду. Именно для того, чтобы оговорить подобные тонкости с самого начала, большинство математический статей содержат одно или несколько Definitions в начале текста. Итак, мы разбили все фигуры на классы попарно конгруэнтных друг другу фигур. Всё, никакой хохмы, заменили одно слово другим только для того, чтобы сказать - фигуры можно двигать по плоскости, не изменяя их свойств.

Разобрались с геометрией - давайте теперь разберёмся с логикой того, что мы сейчас сделали. Мы взяли довольно здоровый зоопарк (всевозможные "плоские фигуры", т.е., подмножества точек плоскости). В этом зоопарке есть понятие равенства, но оно скучное: каждый зверь равен только самому себе. С другой стороны, природа - не храм, а мастерская © (чёрт бы побрал эту школьную программу!), и мы в этом зоопарке что-то собираемся делать. И вот мы решили, что разница между фигурой и тем, что из неё можно получить любым движением, для конкретной задачи не существенна. Мы игнорируем разницу между такими фигурами, - но для того, чтобы обозначить такую "одинаковость", нам понадобилось новое слово.

Такое игнорирование несущественной разницы на самом деле происходит гораздо чаще, чем мы его замечаем. Алгебраический пример - "остатки". Очень часто, решая задачи про числа, мы обнаруживаем, что они очень сильно упрощаются, если заменить числа их остатками при делении на какое-нибудь (обычно небольшое) число, чаще всего простое, - 2,3,5, ... но бывает, что задача решается, если мы смотрим на последнюю цифру чисел (остаток от деления на 10). Правила манипуляции с остатками непохожи на правила действия с числами, например, остатков от деления на 2 только два, 0 и 1, и мы имеем "парадоксальное" тождество 1+1=0 (единица и минус единица - одно и то же!). Понятно же, что предыдущее "равенство" - обман, остатки - не "настоящие" числа, и на самом деле мы имеем дело с какой-то "конгруэнтностью". С какой?

Мы скажем, что два натуральных (или целых) числа m,n эквивалентны по модулю p, если m-n делится на p, т.е., если их остатки при делении на p одинаковы. После этого мы начинаем игнорировать разницу между эквивалентными числами и получаем маленькую симпатичненькую алгебру из конечного числа элементов, в которой есть (почти) все действия арифметики. Скажем, по модулю 5 мы имеем эквивалентности (псевдоравенства) 2+3=0, 2*3=1, 4+4=3 и т.д. Разница между модулем 5 и модулем 10 есть и весьма существенная: если mn=0 по модулю 5, то либо m=0, либо n=0 (это вытекает из того, что 5 - простое). А вот по модулю 10 мы имеем прелестное "равенство" 2*5=0. А ещё приятно то, что при простом p на любое ненулевое "число"-остаток всегда можно поделить: уравнение ax=b при а не равном нулю всегда разрешимо без всяких дробей!

Эти два примера наводят на мысль о том, что повторяющийся паттерн надо "узаконить" и ввести в обиход, раз навсегда договорившись о терминологии. Что мы имеем изначально? Есть большое множество Х (фигур, чисел, ...), некоторые элементы которого мы считаем настолько неразличимыми для наших текущих целей, что хотим игнорировать из различие (неравенство). Для этого мы вводим новое понятие (конгруэнтность, эквивалентность), короче, "недоравенство". Оно должно обладать очевидными свойствами обычного равенства: каждый зверь недоравен самому себе, отношение недоравенства симметрично (взаимно, - у недоравенства можно поменять правую и левую части) и, наконец, недоравенство должно быть транзитивно: если m недоравно n, a n недоравно k, то m недоравно k. Этот последний пункт наиболее проблематичен в практических применениях. Например, мы можем рассмотреть кучки песка и говорить, что две кучки недоравны, если на глаз мы не отличаем одну от другой. Первые два свойства очевидны, а третьего нет, как убедительно демонстрирует "парадокс кучи".

Но зато уж если наше отношение недоравенства обладает нужными свойствами, то мы можем сделать решающий шаг и где-то совсем в стороне, "в параллельной Вселенной", организовать новое множество М, элементами которого являются множества попарно недоравных элементов исходного множества Х. Эта стилистически чудовищная фраза (любой лит. редактор убил бы автора на месте за злоупотребление) на самом деле демонстрирует всю гибкость языка теории множеств: в реальных языках пришлось бы вывернуться наизнанку, вводя всё новые и новые греческие/латинские термины (бедные философы прошлого, они именно этим сплошь да рядом вынуждены были заниматься!). Но результат оправдывает себя более, чем полностью: элементы М - то, что нас в самом деле интересует, а "недоравенство" на Х становится совершенно честным, кошерным равенством на М. Мы надели такие очки-велосипед, через которые мы перестали видеть несущественные различия, а видим только то, что мы с самого начала решили считать существенными. Почему-то психологически это очень непростой момент. Переход от множества Х к множеству М называется факторизацией, само М - фактор множеством (quotient set/space). Переходя к фактор-множеству, мы "забываем" (игнорируем) несущественные для нас детали, а выигрываем на том, что задача из совершенно необозримой может стать вполне обозримой. Вспомните про классификацию квадратичных кривых на плоскости: такие кривые задаются довольно большим числом параметров (3х3 матрица), а после факторизации по отношению "аффинная эквивалентность" остаются всего три невырожденных объекта: парабола, эллипс и гипербола (остальные кривые - мнимые или распадающиеся на прямые).

Вернёмся теперь к гомологиям и попытаемся посмотреть на то, какое же там недоравенство и как мы его игнорировали. Мы выбрали класс относительно ручных геометрических фигур, и построили для каждой такой фигуры "исчисление разрезов", основанное на понятии границы. Ещё раз подчеркну: разрезы бывают разных размерностей. На 2-мерной поверхности, конечно, резать можно только вдоль кривых, а вот если у нас есть нечто трёхмерное (булка, из которой выковырили изюм и апельсиновые корочки) - то её можно резать и вдоль поверхностей, и вдоль кривых. У Пуанкаре было ощущение, что устройство фигуры как-то связано с тем, какие разрезы с какими свойствами она допускает, и он это дело разобъяснил.

С самого начала мы ограничиваемся только разрезами "без границы", "по замкнутому контуру". Почему - да потому, что иначе слишком много всяких разрезов будет: возьмите любые две точки, соедините их кривой - вот вам и разрез, и что с ним делать? Но и среди таких "замкнутых" разрезов слишком много неинтересных. Например, на любой 2-поверхности можно нарисовать маленькую замкнутую кривую, и она будет допустимым разрезом. В 3-пространстве любая замкнутая несамопересекающаяся 2-поверхность - тоже допустимый разрез (если и кривая, и поверхность достаточно гладкие). В чём их тривиальность? Каждый из них - граница (маленького 2-мерного кружочка, соответственно, своей внутренности). Никаких сюрпризов: разрезал вдоль замкнутой линии - вырезал кусочек. А вот если разрез сам "замкнут" (границы не имеет), но при этом ничего не ограничивает, - вот это уже номер, такие разрезы надо искать и мотать на ус. Разрезаешь - а фигура не разваливается на части.

И где же тут очки и эквивалентность, спросите? а вот где. Два "разреза" (два цикла, не имеющих границы) c',c'' размерности n мы называем гомологичными (вот оно, новое греческое словечко!), если их разность (ох, сколько времени мы потратили, чтоб разобраться с тем, что это такое) - граница цепи w размерности n+1: ∂w=c'-c''. Иными словами, граница "плёнки" w состоит из цикла c' и цикла c'', взятого с противоположной ориентацией (вспомните пример с остатками!). В частности, цикл с гомологичен нулю, если он - граница плёнки w, т.е., разрез вдоль цикла с можно "заклеить" куском w нашей фигуры.

Вот вам и все ингредиенты: мы ввели отношение эквивалентности на множестве циклов-разрезов (гомологичность) и объяснили, какую "несущественную разницу" мы игнорируем. В случае с велокамерой все разрезы вдоль совсем маленький кривых ("панчеры"-проколы) гомологичны нулю и потому не интересны, поскольку проткнуть гвоздём может любой дурак любую поверхность. Все разрезы "поперёк" камеры гомологичны друг другу, если вы их одинаково ориентируете: каждая такая пара разрезов ограничивает цилиндрический кусок камеры (любой из двух, на которые она разваливается). А вот один такой разрез нулю не гомологичен: если вы разрежите, то камера станет шлангом, но граница этого шланга будет состоять из двух циклов, с и "минус с". А сам по себе цикл с ничего не ограничивает. И "продольный" (длинный) разрез вдоль камеры не гомологичен "короткому" разрезу поперёк.

Вам кажется, что вас надувают и всё это - демагогия? ориентации-шмориентации, сегодня с этим делом вообще ничего не поймёшь, руками махать каждый может... А вот нет! Наше исчисление кусков (разрезов, цепей) совершенно недвусмысленно и позволяет любому компьютеру, лишённому всякого геометрического воображения, по предъявленному разбиению геометрической формы на симплексы-треугольники (такое разбиение в честь геодезистов называется триангуляцией) выписать вполне конкретные системы линейных алгебраических уравнений с целыми коэффициентами и то, как оператор-гранильщик действует на них, после чего свести вопрос о числе различных негомологичных друг другу циклов к рангу подходящей линейной системы. Собственно, в этом весь пафос алгебраизации: единожды разобравшись с тем, как по геометрической задаче написать подходящую алгебраическую, нам останется только "тупо вычислять" ©.

Comments

[pan_netnet]

как латынь.)
вроде звучит, но ничего не понятно. особенно за геометрию бо с пространственным мышлением совсем туго.

[xaxam]

Да вроде никакой пространственной геометрии не предполагается, всё рассказанное можно разместить на плоскости.

А "латынь" - она с умыслом, как было объяснено. Скажи вам "похожие" вместо "гомологичные", вы нивесть что себе подумаете ;-)

[pan_netnet]

да я даже планеметрию как помню в школе не асиливал от слова совсем. я уж полчу за 3-мерное пространство. алгебра более-менее.

[brevi]

Если память не подводит, ещё важно то, что множество классов эквивалентности всегда «не больше» исходного, поэтому нет опасности оказаться у разбитого корыта с необразующим условием (типа «х не принадлежит х») — см. первый том Бурбаков.

[xaxam]

Всё так, но я не хотел пугать читателей монстрами, которые живут уж очень глубоко в чаще леса.

[cjelli]

А в чем тогда различие между равенством и тождеством?

[xaxam]

Это различие обычно спрятано в том, что мы думаем, когда пишем f(x). Если это значение функции f в некой точке х, - одно дело, если же это обозначение функции, аргумент которой обозначается иксом, - другое. В первом случае f(x)=0 - равенство (уравнение?), во втором - утверждение, что f тождественно нулевая функция. Формально такая двусмысленность лечится артиклем или кванторами, но в живой речи проще сказать "тождество" про равенство, которое выполняется при всех значениях параметров.

Здесь тоже не без засады. Многочлен x²+x с коэффициентами над полем {0,1} вовсе не равен нулю, однако ж как функция из поля в себя, таки тождественно равен нулю. В такой ситуации без объяснения того, как мы интерпретируем равенство - в кольце полиномов или в кольце функций - не обойтись даже заменой "равенства" на "тождество".

[malobukov]

А в школе-то что делать? Говорить, что конгруэнтные фигуры это те, у которых совпадает форма и размеры? Так начинаются непонятки про что такое форма и сколько должно быть размеров.

Или что если фигуры, нарисованные на двух бумажках, можно совместить, двигая, поворачивая и переворачивая бумажки, то эти фигуры конгруэнтны? Так остаётся проклятая неопределённость, вдруг можно, но пространственного воображения не хватает.

Мне в своё время в школе было сказано не отвлекаться, потом в институте объяснят. И вроде действительно объяснили, но я до сих пор не знаю, где там курица а где яйцо и в каком порядке правильно делать подход к предмету.

[xaxam]

>>> Так остаётся проклятая неопределённость, вдруг можно, но пространственного воображения не хватает.

Обычно в школе возникает не вопрос "как доказать НЕ конгруэнтность", а "как доказать конгруэнтность".

И решается (в школе же) этот вопрос "признаками". В первую очередь, признаками равенства треугольников (а уж из них собираются более сложные утверждения).

>>> где там курица а где яйцо и в каком порядке правильно делать подход к предмету.

Вопрос вопросов. Математика - не прямолинейное восхождение от простейших понятий (множества, отношения и пр.) к сложным (шварцшильдовские решения уравнений ОТО). Всё идёт кругами.

В 5-м классе, рассказывая, что такое простые дроби, совершенно естественно пользоваться пиццами, яблоками и пр.

В десятом классе, обсуждая, что такое числовые системы (если вдруг дойдёт дело), стыдно на пиццах объяснять, что такое 10/3, после того, как в в 4-м выяснили, что 10 на три не делится.

Другой пример. Что такое показательная, степенная и логарифмическая функции? Их вводят классе в 8-м, что ли. Но их в принципе невозможно аккуратно ввести, не зная, что такое дифференциальные уравнения (а значит, пределы, действительные числа и пр.). Но даже без этих тонкостей основы анализа (производную и интеграл) вводят только в 10 или 11 классе. Никакой логической последовательности нет и она невозможна. Построить строгий путь с самого низа можно только уже стоя на самом верху.

С этим надо жить и не стесняться учить "в несколько заходов".

[cjelli]

Логарифмы, вроде, в 8-м классе не учат. Учат степенную функцию, в основном квадрат и куб - с ними все наглядно, учат и показательную, там тоже без пределов можно объяснить, зернышками на шахматной доске. А логарифмы были, по-моему, в последнем классе, перед интегралами.

[xaxam]

Ну да, учить не учат, а степенные и логарифмические уравнения решать заставляют, сучьи потроха! Конечно, это всё формальные манипуляции, но какого хрена формально манипулировать с непонятными объектами во имя неизвестных целей?

Поубывав бы! ©.

[malobukov]

Там вроде загвоздка при возведении в нецелую степень. Вводятся дробные степени, а потом предлагается поверить, что для иррациональных оснований и показателей тоже всё тоже будет хорошо. Почему хорошее делать именно так, а не через какую-нибудь другую функцию, школьный курс скромно умалчивает, потому что дифференциальных уравнений в нём нет.

[xaxam]

Я подозреваю, что ещё не родился тот школьник, который осмелился бы спросить, почему корень из двух близок к корню степени 1000 из 2^{499}.

[cjelli]

А если школьник спросит, что больше, e^π или π^e

[xaxam]

Получит конфетку и путёвку в ближайший маткружок, с которого, скорее всего, он и принёс эту подъёбку для учителя.

[cjelli]

Рекорд поставил Я. И. Перельман, написавший в свое время полушутливую статью о том, что π² ≈ g не так уж и случайно.

[xaxam]

Я этот "факт" несколько раз встречал в научно-популярных журналах, включая респектабельную "Науку и Жизнь" советских времен (правда, в рубрике коротких заметок, "Знаете ли вы, что...")

[cjelli]

Если учесть, что Перельман умер в 1942 году, его статья инспирировала многих, я ее читал в Кванте.

[malobukov]

> основы анализа (производную и интеграл) вводят только в 10 или 11 классе

Я с удивлением обнаружил, что в американской школьной программе (Common Core) и стандартных тестах SAT и ACT вообще нет ни производной, ни интеграла. Основы анализа даются факультативом в Advancement Placement классах. При том что физика какая-то есть со скоростью, ускорением, законами Ньютона и Кеплера, движением по параболе и даже что-то про статистику и нормальное распределение встречается. Оказывается так тоже можно.

[xaxam]

Физики ничуть не хуже математиков могут объяснить пределы в тех объёмах, которые им нужны (производные гладких, в основном рациональных функций).

У математиков проблема в том, что единожды дав определение, хорошо работающее в простых ситуациях, они начинают занудствовать и смотреть, как оно работает в извращённых ситуациях. И, как правило, нарываются на серьёзные проблемы, для решения которых иной раз приходится снести прекрасно стоявшее здание до основанья только для того, чтобы ценой огромных усилий подвести под него спроектированный по всем правилам фундамент. Но и такая перестройка вполне может оказаться небеспроблемной спустя сто лет. К счастью, верхние этажи совершенно не чувствуют, как их периодически переселяют из одной вселенной в другую.