xaxam | А если б он сигареты стрелял?

Уж коль зашла такая пьянка, пойдём из лука пострелям

Часть комментаторов к предыдущему посту скрестили ежа и ужа, и заставили черепаху убегать от неподвижной стрелы, пущенной Ахиллом. Я уж не стану приставать к читателям, а сразу попытаюсь объяснить воображаемому школьнику, про чтó (с моей оценочной точки зрения) парадокс Зенона* про летящую стрелу.

Если перевести философскую тягомотную риторику на простой язык, то Зенон недоумевает: как состояние движения может распасться на череду (пускай и бесконечную, - он не уточняет) состояний покоя?

Разумеется, подвох здесь в термине "состояние". Что он означает в применении к объектам? Некто пребывает в состоянии клинической смерти (ло алейну). А ещё некто пребывает в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Почти каждый из нас имеет опыт пребывания в состоянии аффекта. В каждом конечном случае слово "состояние" определяет некий набор признаков и данных измерения по отношению к объекту. Насколько велик этот набор? для состояния клинической смерти характерны какие-то биологические показатели, которые должны опуститься ниже определённых пределов. В случае движения мы должны наблюдать объект в течение какого-то положительного промежутка времени, и на этом промежутке за равные интервалы времени тело должно проходить равные (векторно) расстояния. Состояние аффекта устанавливается психиатрами по одним им ведомым признакам во время слушаний по уголовному делу. При этом для состояния аффекта безразличен цвет галстука или скорость движения субъекта. Так что под состоянием резонно понимать не все вообще мыслимые показатели (вес, рост, судимость, артериальное давление), а только то, что существенно для прогноза будущего.

Иной раз трудно предсказать, какие характеристики мы должны включать в понятие "состояния". Нам кажется, что если мы знаем точку, откуда запущена стрела, и её скорость. то (предполагая полёт в вакууме и без других сил) мы узнаем, где она будет в любой последующий момент времени. Но если допустить, что стрела сделана из какого-нибудь радиоактивного изотопа и имеет закритическую массу, то наш прогноз будет нерелевантным, поэтому о "состоянии" очень сложных объектов лучше говорить, прикусив язык ("состояние общества дошло до точки кипения").

Чтобы покончить с этим словоблудием, давайте рассмотрим простейший вариант стрелы Зенона: "материальная точка в трёхмерном евклидовом пространстве". Это настолько примитивный объект, что его состояние в принципе не может требовать многих параметров для своего описания. "Положение" (сиречь три декартовы координаты точки) - очевидная составная часть. Масса. Внутри точки ничего спрятано быть не может, поэтому если что и есть, так это параметры, описывающие положение точки в пространстве. (Уж как мы их мерить будем, - дело десятое). Эти параметры всем прекрасно известны и называются "скорость" (первые производные координат), "ускорение" (вторые производные), "рывок" (jerk, третьи) и т.д. Однако! даже у такого простого объекта - бесконечномерное пространство состояний! Неужели вся эта цифирь действительно нужна, чтобы предсказать поведение стрелы в будущем?

К счастью, нет. Спасибо Ньютону, - хватает координат и скоростей. Потому, что вторые производные - ускорение - по второму закону Ньютона равны (с точностью до массы) - действующим внешним силам. Внешние силы - это описание окружающего мира как если б нашей частицы-стрелы там не было вообще. А это значит, что все старшие производные однозначно определяются положением и скоростью стрелы**, а значит, соответствующих 6 чисел достаточно, чтоб предсказать будущее.

И эти шесть чисел - независимы: в одной и той же точке пространства можно находиться с разными скоростями. Можно "покоиться" (нулевая скорость), можно иметь любой вектор. Зная полный набор - можно предсказать будущее (спасибо Ньютону ещё раз за то, что его уравнения - рациональные, и удовлетворяют теореме единственности). Зная лишь часть - нельзя сказать ничего. Так что в формулировке Зенона порочно описание промежуточных состояний как "состояний покоя". Положение есть, а скорость - ненулевая. Было бы в самом деле состояние покоя - точка так и оставалась бы там, где была.

Математики обычно любят рассматривать задачи, в которых под (фазовыми) "координатами" понимаются все компоненты состояния. Скажем, если мы рассматриваем не движение среды, а уравнения химической кинетики, то там достаточно знать только концентрации реагентов, а скорости их изменений несущественны (это выражается в том, что уравнения хемодинамики, по крайней мере, в относительно простых случаях) имеют первый порядок***. Вот там никаких тебе стрел Зенона в принципе быть не может: если ты оказался в какой-то момент в состоянии покоя, там тебе и сидеть во веки веков, никуда не деться.

А вот почему наша (классическая) механика описывается уравнениями второго, а не, скажем, третьего порядка, - вопрос к Всевышнему. Насколько мне моё физическое невежество судить позволяет, нет каких-то метафизических причин, почему законы Ньютона описываются дифурами второго порядка, да ещё (если пренебречь трением) - с очень нетривиальной дополнительной структурой.

Bottom line. Стрела Зенона - выстрел в довольно случайную цель плюс подмена понятий "состояние" на "геометрическое положение". Не о чём говорить, если разобраться. Разговоры о дискретной структуре пространства-времени - нерелевантны.
____________________________________________________________
*Для общей пользы хорошо бы, чтобы те, кто действительно хочет узнать ответ, вначале посмотрели бы исходную формулировку (в пересказе Аристотеля и Симпликия). А то ведь приходилось слышать что-то в таком духе: "Прежде, чем пролететь весь путь, стрела должна пролететь половину; прежде, чем пролететь половину - пролететь четверть и так далее. Ей просто не хватит времени пролететь через бесконечно много положений в пространстве". Для грека слово "бесконечный" было табуировано, поэтому подобное словблудие встречено было бы одним словом σκατό.
** Можно вообразить себе силы, зависящие от старших производных, но в такие миры человечество вроде бы пока не заносило.
***А так-то можно вообразить себе дифференциальные уравнения с интегральным запаздыванием, если есть скамеечка, где посидеть отдохнуть можно.