Догоню - убью!
Oct. 5th, 2019 10:00 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
xaxam
Субботний мат. кружок
А как бы вы, дорогие читатели, объяснили сегодняшнему студенту-первокурснику (или матшкольнику), про чтó на самом деле греческий парадокс про Ахилла и черепаху?Подсказка. При "правильном" объяснении парадокса в его исходной форме (постоянное соотношение скоростей 10:1) как раз загадка исчезает, отчего греки и не слишком запаривались с этими черепахами (так, между чашами с разбавленным вином поболтать).
Профессиональные долдоны (профессора математики) освобождаются от участия: интересно послушать мнение провербиальных "технарей", которых в детстве и отрочестве мучили всякими эпсилон-дельтами до кровавой юшки.
Ничего не скринится.
Ответ дал интригующе анонимный читатель
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
p_k (может статься, что он профессор математики?). Задача про Ахилла и черепаху не была вопросом о том, обгонит или не обгонит: нормальному человеку очевидно, что обгонит не позже, чем ... и не раньше, чем ... (подставьте числа). Не была она и вопросом о том, когда точно Ахилл её обгонит: составляем пропорцию между путём, пройденным Ахиллом до встречи, путём черепахи и отношением их скоростей. А уж пропорции - это было греческое всё: они их не только составлять любили, но и решать прекрасно умели.
Греческое замешательство вызывал тот факт, что конкретное число (1/9, решение пропорции) можно было, руководствуясь описанными Зеноном соображениями, представить в виде бесконечной суммы.
В отличие от разных мистиков, рациональные греки очень боялись бесконечности и бесконечных объектов. Поэтому в рассуждениях Евклида не встречаются рассуждения о "множестве всех натуральных чисел" (как бы его не переодевать, чтобы избежать слова "множество"). Бесконечность всегда появлялась в форме "потенциальной бесконечности", возможности добавить ещё одно число, большее, чем все перечисленные. В этом смысле "бесконечный ряд с конечной суммой" для них был примерно как зрелище осёдланного дракона, на котором храбрец исполняет фигуры высшего пилотажа.
Наверняка кто-то из греков задумался, - а что, собственно, такого примечательного в дроби 1/9, что она так лихо усмиряет бесконечную сумму? Не будучи историком математки, я готов отдать зуб, что (пускай и не владея десятичной системой счисления) греки понимали, что на самом деле все рациональные числа обладают таким замечательным свойством: каждое из них может быть представлено суммой бесконечной геометрической прогрессии ("разложение в периодическую десятичную дробь).
А помимо рациональных чисел, других греки и не знали, в сущности. Конечно, Пифагор обнаружил, что корень из двух - не есть рациональное число, т.е. "не число вовсе" по его понятиям. Казалось бы, нет числа - нет проблемы, но квадрат-то точно был, это каждый сам мог увидеть. И Пифагор (а вслед за ним) пошли по пути экономии мысли и стали латать только ту дырку, которую обнаружили. Если чисел нет, то есть отрезки, которые можно построить за конечное число шагов при помощи циркуля и линейки (других построений реально они не знали, а про бесконечное число шагов никто и не заикался). Оказалось - из этого выросла увлекательнейшая геометрия, включавшая в себя конические сечения с их невероятно красивыми свойствами. Сегодняшнему первокурснику можно было бы сказать, что греки научились строить все квадратичные иррациональности, т.е., все отрезки, длины которых удовлетворяют квадратным уравнениям с целыми коэффициентами (и их итерациями). Пифагор мог бы праздновать триумф своей теории, - в основе всей математики всё-таки лежат целые числа!
Правда, довольно скоро греки наткнулись на три знаменитые задачи (о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга). Первые две сводились к решению кубических уравнений (что невозможно было сделать циркулем и линейкой), а третья вообще принадлежала к совершенно иному миру. Но к этому моменту драйв у греков закончился и подобная мелкая ерунда их не сильно беспокоила.
Вернёмся после этого лирического отступления про числа к парадоксу про Ахилла. У греков не могло не вызывать ощущение беспокойства от того, что представление числа бесконечной суммой позволяет "предъявить" гораздо больше чисел, чем рациональные. Если б Ахилл бежал не равномерно, а равноускоренно, момент встречи определялся бы всё ещё квадратичной иррациональностью, хоть сумма и выглядела бы по-другому. А если он бежит по ещё более сложному графику? а если вообще без графика, в каждый момент решает, с какой скоростью бежать? Мы получим для момента встречи "число", представляемое какой-то бесконечной суммой, но представить это число ни в каком конечном виде нам не под силу (мы ведь даже кубичным иррациональностям отказали в полноценном гражданстве). Иными словами, самый страшный враг, какой только бывает, - актуальная бесконечность, "бесконечная десятичная дробь", - пролезает в математику, а мы не знаем, как с ней оперировать.
Был один храбрец, который рискнул наплевать на эту опасность и осторожно объехать её на кривой козе. Архимед его звали. Он, конечно, знал определение числа (по Пифагору), но пользовался термином гораздо более свободно. И сразу стал творить чудеса, например, вычислять площади фигур и объёмы тел при помощи трюка, который неблагодарные потомки назвали принципом Кавальери. Сегодня мы его формулируем так: если есть две функции на отрезке, то интеграл их суммы равен сумме интегралов (что может быть очевидней, если знать, что такое интеграл?). Архимед не знал определения интеграла, но понимал, что если одна фигура вписана в другую, то и объём первой не больше, чем объём второй (этого утверждения достаточно, чтобы со всей греческой аккуратностью доказать утверждение об объёмах, эквивалентное утверждению об интегралах). Как это понимание связано с парадоксом Ахилла? А очень просто, через определение объёма (или площади).
Мы со школы знаем, что такое площадь: это то, что есть у любой фигуры, неотрицательное, суммируется, если мы составляем из двух фигур третью без перекрытия (или разрезаем большую на две меньших). Ах да, площадь единичного квадрата равна 1. Пользуясь этими "аксиомами" (привет Евклиду), мы легко выводим формулы для площадей прямоугольников, треугольников, многоугольников... и... и? И останавливаемся. Площадь окружности мы никак не можем найти: ну нельзя её разрезать на треугольники, хоть тресни. Остаётся косвенный путь: приближать окружность изнутри и снаружи правильными многоугольниками, вычислять их площади (никаких проблем, кроме вычислительных) и смотреть, как сближаются две последовательности чисел. Но кошерный грек имел бы, что возразить: окей, мы знаем, что если один выпуклый многоугольник целиком лежит внутри другого, то площадь одного меньше площади другого, это теорема. Но доказать такую теорему для многоугольника, вписанного в окружность, мы не можем по тривиальной причине: мы не знаем, что такое площадь окружности. Такого числа нет! Кроме шуток, его нет ни среди рациональных, ни среди алгебраических чисел (довольно трудный факт, только в 19 веке доказанный). Так чего же мы собираемся доказывать?
Короче, мораль всей истории, стóя на одной ноге. Парадокс Ахилла и черепахи был толстым намёком грекам на то, что их числовая система (как мы сказали бы сегодня) - сильно неполна, и её может не хватить для логически стройного построения математики (так и оказалось впоследствии).
К счастью, последующие варварство и Тёмные века ослабили требования к кошерности математических рассуждений: если какая-то формула работает, - хорошо (Тарталья), будем ей пользоваться. Мы не знаем, что такое производная (Лейбниц), но знаем, что производная от икс в седьмой - семь икс в шестой, а коли так, мы знаем производные всех многочленов, а значит - и всех бесконечных степенных рядов (Ньютон). А ну-ка, подавай сюда дифференциальные уравнения, мы их сейчас начнём одно за другим решать (Бернулли, Эйлер...). В общем, до развития космонавтики оставалось сделать несколько технических шагов, принципиальные трудности были преодолены ;-)
no subject
Date: 2019-10-05 12:31 pm (UTC)Любопытно - Пифагоры-Евклиды и пр вокруг них поняли бы суть? Мыслили ли они вообще в категориях что есть число, как ему дать определение"?
К моему стыду, я не читал работ по математике совсем старых (даже в переводе), поэтому сам ответить не могу.
========
Позволю себе дополнить насчёт "ослабили требования к кошерности математических рассуждений".
Наверное, так и на сегодняшний день, мне кажется. Хотя формально произносится ровно наоборот :)
Честно говоря, не знаю, как в других ВУЗах, но на матмехе ЛГУ студенты имели "ограниченный пакет" знаний по матлогике и теории множеств. Как бы считалось, что люди знают всё "от аксиом", в реальности именно основы "проскакивались" на первом курсе и больше к ним не возвращались. Соответственно, скажем, теорема удвоения шара воспринималась людьми, как "точно существующая и верная", поскольку в голове каких-то альтернатив аксиоме выбора не оставалось.
no subject
Date: 2019-10-05 02:14 pm (UTC)Я довольно принципиально не занимаюсь перепостами, за исключением конкретных ссылок.
>>> Пифагоры-Евклиды и пр вокруг них поняли бы суть?
Тут два подхода: для неленивых и для ленивых. Неленивые пошли бы изучать первоисточники и толковать терминологию немногих дошедших цитат на древнегреческом и на арабском.
Я ленив, и пытаюсь, не вставая с дивана, влезть в тапки отцов-основателей, делая скидку на то, что они были гениями своего времени, а я заурядный резонёр, но стоящий на плечах гигантов.
Парадокс Банаха-Тарского я всерьёз для себя не переваривал ещё до того уровня, чтоб об этом писать в ЖЖ. Мне он представляется как цирковой трюк: имея дело с неизмеримыми множествами и тасуя несчётное число колод, можно сыграть супер-флеш-рояль.
Один раз в жизни, 30 лет назад, занимаясь мат. экономикой и в поисках наиболее логичной и эстетически красивой формулировки технических теорем, позволявших мне в два слова доказать то, что я хотел, я погрузился в теорию конечно-аддитивных мер и недодвойственности между L^\infty и L^0. Там, как оказалось, ZFC аксиоматика и участие в ней С - таки-водораздел. Математическая экономика, Карл! с потенциальными приложениями к системе межотраслевого баланса!!
no subject
Date: 2019-10-05 04:12 pm (UTC)Кошмар какой :)
Старый стал, всё позабывал - сейчас не могу представить, зачем для матэкономики вообще могут понадобиться Lp? Что там за модели такие...
Ужасно, конечно, когда забываешь, что знал - раздражает. Даже если сознанием понимаешь, что это естественно - при неиспользовании десятками лет.
=======================
">>> Интересный подход. Ваш?
Я довольно принципиально не занимаюсь перепостами, за исключением конкретных ссылок."
Тогда позвольте подать идею - из Вашего подхода может выйти очень интересный рассказ/статья/лекция (термин неважен), который будет, думаю, очень интересен и полезен изучающим как математику, так и "историю человеческого мышления" - предмет сейчас вроде несуществующий, но неявно входящий в естественно-научные дисциплины и в историю.
Скажем, мне было интересно читать даже в таком формате.
no subject
Date: 2019-10-05 01:03 pm (UTC)Мне всегда казалось, что все зеноновы апории - примеры (возможно педагогические) неприемлемого использования определенных методов рассуждения/вычисления к некоторым задачам. "Стрела" и "Дитохомия" - дискретный взгляд на непрерывность времени и пространства соответственно. "Просяное зерно, падающее беззвучно и множество зерен сыплющихся с грохотом" - разбиение целого на частности. "Ахилл" - последовательное приближение. И т. д.
Непонятно, были ли апории критикой греческих математики и философии, или это уже видно задним числом.
no subject
Date: 2019-10-05 02:38 pm (UTC)Апория черепахи - философский вопрос о том, что такое числа, которыми мы пользуемся. Для наших предков были, несомненно, два типа величин, - "длины" и "веса" и "числа". До поры до времени они не смешивались. Даже когда финикийцы придумали деньги и стало возможным сосчитать, сколько серебряных монет надо заплатить за мешок овса (или участок земли), это были не слишком убедительные "переводные коэффициенты", - ты сторговался за такую-то цену, а я завтра перекуплю подешевле.
То, что измерения и натуральные числа - одна и та же шкала, - было абсолютно эпохальным открытием пифагорейцев. Их экстаз по этому поводу легко объясним, как легко объсним был и шок про диагональ квадрата. То, что им и их последователям удалось сохранить единство партии в рамках греческой синтетической геометрии - повод чтить память Пифагора наряду с Иисусом и Моше-Рабейну.
no subject
Date: 2019-10-05 06:53 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-05 01:29 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-05 02:26 pm (UTC)Если б его услышали высоколобые современники (а не только интересанты-тираны в средиземноморских полисах), мы имели бы альтернативную историю человечества.
Второй пример точки бифуркации - как кеплеровы эллипсы забодали птолемеевы эпициклы. В момент кульминационного столкновения эллипсы выиграли своей простотой, а потом Ньютон подбавил им фундаментальности. Хотя эпициклы были точнее и содержали неограниченный потенциал для усовершенствования.
Если б человечество пошло за Птолемеем, то вместо дифференциальных уравнений небесной динамики мы бы начали с понимания того, что в небесной механике нет ничего святого, а любой процесс раскладывается в ряд Фурье. Вместно дискуссии о производной и бесконечно-малых мы бы стартовали с гораздо более естественного по многим критериям (включая хорошую определённость) понятия интеграла.
Соответственно, был шанс, что законы небесной механики мы бы поняли чуть позже, но не в форме ньютоновых дифуров, а в виде законов наименьшего действия а ля Лагранж. А законы Максвелла - в виде уравнений классической теории поля.
no subject
Date: 2019-10-05 05:42 pm (UTC)Неясно, являются ли случаи существенно разными: в том ли причина того, что греки не освоили операции с бесконечными рядами, что они не уделяли достаточно внимания нотации? Или, может, дело как раз в том, что перед Коши обязательно должны быть Ньютон и Лейбниц? Ну да, законы движения можно сразу записывать в уравнениях Лагранжа или Гамильтона, но это лишает нас простого и наглядного представления о силе, действии-противодействии и траектории. Эпициклы были отвергнуты именно потому, что абсолютно неинтуитивны (пока не изучишь ряды Фурье, конечно, но есть масса людей, которые их не изучали). Принцип наименьшего действия до некоторой степени спасает, конечно, но движение по брахистохроне все равно недостаточно интуитивно. Предвижу при таком способе обучения массу людей, которым проще представить, что каждый квант времени какой-то аллах уничтожает мир и заново его творит.
Думаю, здесь уже можно писать фантастический роман о
сексуальныхотношениях людей с расой пришельцев, которые от яйца изучают законы движения в гамильтоновом формализме. ;-)no subject
Date: 2019-10-05 06:24 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-05 07:00 pm (UTC)Устройство натурально возникшего разума должно быть похоже на человеческое, потому что эволюция направляется выживанием, и последовательное усложнение представления о мире должно всегда давать что-то похожее, без перескоков через элементарные стадии. Однако кто заставляет рассматривать только натуральные разумы? Вот сделаем через пару десятков лет ИИ общего типа (general AI), и тогда можем попробовать избавить его от элементарной математики и ньютоновой механики ;-)))).
no subject
Date: 2019-10-05 07:32 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-05 07:46 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 05:30 am (UTC)Как нутряной марксист (кому битие определяет сознание), я б предположил, что они начали бы с создания рациональной механики сплошных сред (описав её в неизвестных нам терминах), а потом предельным переходом написали бы уравнения движения материальной точке в среде с нулевой вязкостью ;-)
Этот второй этап - одинаков для нас и для медуз, называется "компактификация пространства модулей" ;-)))
no subject
Date: 2019-10-06 07:31 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 01:04 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 01:32 pm (UTC)Логика не просто антропоморфна, она лингвоморфна и даже более, в ней заложен одномерный полный порядок, в котором мы мыслим себе символы логических формул. Скажем, китайская логика, основанная на двумерных иероглифах, уже могла быть заметно другой.
no subject
Date: 2019-10-05 07:00 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-05 07:14 pm (UTC)Я не вижу, каким образом исламское завоевание позволило восстановить торговлю: экономика римского мира держалась на дальних поставках зерна, в первую очередь из Египта, и вот они-то как раз и не восстановились. Зато восстановилось массовое пиратство, которое римляне извели на рубеже нашей эры.
Иными словами, дальняя торговля римского мира была крупнотоварной (как сейчас), а в темные века - "роскошной" (немногие предметы роскоши стоили того, чтобы с большим риском везти их на большие расстояния).
no subject
Date: 2019-10-05 09:19 pm (UTC)Влияние Темных веков на европейскую мысль - вопрос сложный. Каким-то образом произошла смена условно "греческого" подхода на условно "галльский" или "немецкий". Притормозили ли Темные века развитие Европы, или перенаправили - не очевидно - многие интеллектуалы западной части Империи, вроде Авсония, без восторга относились ко всему греческому задолго до падения Рима.
no subject
Date: 2019-10-05 09:39 pm (UTC)У римлян, как выясняется, была очень активная торговля с Индией, достигшая максимума, если не ошибаюсь, при ком-то из Антонинов, а потом пошедшая на спад по неясной причине. Это отслеживается по монетам.
В любом случае, из Азии хлеб не везли, это торговля роскошью.
Карфаген всю жизнь был торговой республикой, если бы арабы превратились в него, то в чем проблема?
Надо будет внимательно посмотреть, как именно получилось, почему при арабах Египет перестал поставлять зерно, торговая это проблема или производственная.
С "интеллектуальной" точки зрения, главный эффект Темных веков это, наверное, появление североитальянских университетов, но тут я недостаточно хорошо представляю себе последовательность событий.
no subject
Date: 2019-10-05 10:32 pm (UTC)У спада торговли было две причины. Первая называлась персы, которые отбили у Рима Месопотамию и порты в Персидском заливе. Вторая называлась арабы, которые мешали римской торговле в Красном море и многочисленные карательные походы против которых особых результатов не имели.
"Карфаген" в смысле территориально - Испания, Северная Африка, Сицилия.
У Египта с его поставками зерна на Север, на которых он жил всю античность со времен Александра, начались проблемы с покупателями. Густонаселенные регионы, вынужденные импортировать зерно, после чумы либо сильно обезлюдели, либо сами себя обеспечивали, как Фес, например.
Возможно, что важным было отличие итальянских университетов от арабских и греческих школ, по аналогии с которыми они были образованы. Возможно, что важнее была иная организация итальянских общества и экономики, которые также влияли на академию.
no subject
Date: 2019-10-06 07:43 am (UTC)Соответственно, если правители Египта не могли продать много зерна из-за отсутствия спроса, они, конечно, могли купить меньше вина и масла, но производительную базу сокращать не имело смысла. (она, конечно, сама сократилась - в Египте чума тоже была) И, далее, после чумы можно было бы нарастить производство, но этого не произошло. Я предполагаю, что одна из проблем - в том, что исламское земельное право нарушило схемы поставки зерна, но это надо копать и разбираться, как это все было устроено при византийском правлении - так же, как при Птолемеях и фараонах, или уже нет? Ну и торговля, несомненно, сократилась, купцы из Остии в Александрию уже не плавали (слишком много желающих ограбить по дороге).
no subject
Date: 2019-10-06 05:53 pm (UTC)Связан ли средневековый упадок Египта с пиратством? Частично. Породившая это пиратство многовековая борьба множества сторон за контроль центрального Средиземноморья - византийцев/арабов/итальянцев/норманнов/каталонцев, очевидно не способствовала стабильной морской торговле таким дешевым товаром как зерно, который выгодно возить только на медленных и тяжелых судах, на которых и не убежать от пиратов и самому не попиратствовать. А в Остию хлеб стало проще возить из какого-нибудь Кракова.
no subject
Date: 2019-10-06 06:30 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 07:38 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 08:16 am (UTC)При этом сменилась вся жизнь людей и в том числе схема финансирования науки: в Риме науку финансировали меценаты. Университеты и даже монастыри - это уже профессиональная наука (хотя придворные ученые существовали, а позже вновь появились и меценаты, но это случилось нескоро).
no subject
Date: 2019-10-06 08:50 am (UTC)Греки понимали науку очень похоже на то, как её понимаем мы, хотя и провидили грани между физикой, геометрией и философией чуть-чуть по-другому. Они крайне редко проводили dedicated experiments, предпочитая апеллировать к бытовому опыту: в этом есть своя сермяжная правда. Поверить в результаты эксперимента, проведённого после долгой подготовки в специальной лаборатории - недемократично. А вот поверить в то, что ты видишь каждый день перед собой (и в выведенные из этого логическим образом следствия) - доступно каждому, у кого есть желание и терпение. Но при этом апелляция к авторитетам прошлого была вежливо-скептическая. Аристотеля признали почти богоравным авторитетом отнюдь не современники.
Римляне не больно-то интересовались кошерностью логического обоснования. Если некто составил астрономические таблицы для навигации - и они работают, - неважно, сколько там было птолемеевых эпициклов в расчётах. Если кто-то подсчитал объём земляных работ для строительства одного стадия дороги, и эта формула раз за разом подтверждается, - плевать на то, что формула основана на логически небезупречных аргументах.
Разрыв в цепи времён был концептуальный: мы, несчастные современники и потомки великих, сами не способны на новые открытия, всё знание нужно доставать только из трудов классиков марксизма и отцов церкви, а основная проблема - как примирить их концепции, когда они начинают противоречить друг другу. Грань между теологией, юриспруденцией, натурфилософией и медициной стёрлась, одни и те же методы применялись везде (в следующий раз подобное единение мы увидим под эгидой Института Марксизма-Ленинизма).
Новое время началось практически с чистого листа, когда художники стали рисовать без оглядки на иконописные каноны, писатели - писать про любовь мужчины к женщине, а не души к Богу, а математики - про способы вычисления того, что раньше было табуировано.
no subject
Date: 2019-10-06 09:40 am (UTC)Мы все-таки обсуждали Темные Века, а Вы уже в Новом Времени ;-)
Ромеи в Византии, например, какой парадигме следовали, римской или греческой?
Понятно, что Западная Европа стартовала от позднеримских схоластов и какое-то время питалась тем, что долетало из Константинополя и от сефардов, переводивших Аристотеля то в одну, то в другую сторону, но потом было Высокое Средневековье, с развитием металлургии и алхимии, потом Возрождение (тоже, впрочем, Константинополь - бежавшие от турок ученые), потом Реформация ... я бы не сказал, что Новое время началось уж совсем с чистого листа.
no subject
Date: 2019-10-06 06:12 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-06 06:32 pm (UTC)