Всё уже посчитано до нас...

[xaxam]

Галимая копипаста

Ну, и очевидная мораль, на русский труднопереводимая, поскольку "символьное интегрирование" есть, а "символического интегрирования" нет:

❝"Symbolic integration" is when you theatrically go through the motions of finding integrals, but the actual result you get doesn't matter because it's purely symbolic.❞

Comments

[leo_sosnine]

Выходит что интегрирование сложнее дифференцирования.

[xaxam]

Дифференцирование (символьное) - механическая операция, которую сделает любой компьютер. При этом оно скверное, как математический оператор (ухудшает свойства функций, неограничено и т.д.).

Интегрирование, наоборот, совершенно нетривиальная операция (достаточно сказать, что интеграл от рациональной функции 1/x является неалгебраической функцией, а интегралы от чуть более сложных функций неэлементарны, т.е., не могут быть явно выписаны в форме, понятной школьнику). Но зато очень хороший оператор, мы его любим и ценим.

[a-konst.livejournal.com]

А вы никогда не интегрировали, что ли?

[leo_sosnine]

В универе в последний раз. Но вообще йа просто подытожил в стиле "спасибо, кэп" то, что изложено в посте. К автору поста у Вас же таких вопросов не возникло, хотя он именно это и утверждает. Не сегодня же он об этом узнал.

[a-konst.livejournal.com]

Автор поста просто поделился эстетически занятной иллюстрацией того, что на его уровне является азбучной истиной. Ну и плюс забавная игра слов в английском языке , со словом "symbolic".
Утверждение, что результат символьного интегрирования в действительности чисто символический, то бишь бесполезный реально, гораздо глубже и интереснее, чем простая констатация, что интегрировать сложнее, чем дифференцировать.

[leo_sosnine]

Спасибо за объяснение.

Я просто тупой, поэтому смотрел в основном на картинки, глубина символизма прошла мимо.

[straktor]

> символьного интегрирования в действительности чисто символический, то бишь бесполезный реально

совершенно не соглашусь
допустим есть технологический процесс по времени, ну или физический, и надо например обсчитывать по времени
что дешевле по деньгам, численным методом интегрировать и бороться с погрешностью -- или по формуле вычислить за константное время?

а если технологический процесс и обсчёт происходят в летящей взрывающейся штуке?
за хорошую формулу и миллиона не жалко

[epimorphisms_split]

Если нужно чего-то интегрировать по времени, то это чего-то обычно не заранее известная функция, заданная формулой, а показания датчиков. Ускорение, например. Снимаем с акселерометра цифирьки, интегрируем, получаем скорость, интегрируем снова, получаем положение в пространстве.

[straktor]

> Если нужно чего-то интегрировать по времени, то это чего-то обычно не заранее известная функция

вы только что заявили, что никаких математических моделей не существует, а если и есть, то никто ничего никогда не считает, а сразу херачат самолёт или скажем отопительную систему небоскрёба, а потом начинают мерять, работает ли

очень смело, трава забористая

положение в пространстве, кстати, в макро-домене намного проще, легче и точнее получить сразу с гпс

[epimorphisms_split]

Я что-то не помню, чтобы я говорил такую чушь. Я сказал, что обычно интегрируется по времени на летящей взрывающейся штуке.

ГПС, конечно, решает все проблемы, зачем самолеты оснащают инерциальными навигационными системами — полная загадка. Дураки, наверное.

[xaxam]

>>> за хорошую формулу и миллиона не жалко

Только её почти никогда не бывает.

Все задачи на вычисление интегралов в курсе матана - специально подобранные. Наугад написанный интеграл не берётся в элементарных функциях - это утверждение можно сформулировать как точную математическую теорему. Даже если мы расширим класс и выразим интеграл через, скажем, гипергеометрические или эллиптические функции, - чем это нам на практике поможет?

[straktor]

недавно проходил инфоповод по книге про боинг и skunk works
заранее извиняюсь, если вы в курсе и я пишу баян

один математик из усть-пердюйского вуза СССР родил книгу, с формулами по отражению радиоволн поверхностями, и приписал: а вот для плоских треугольных поверхностей сумма равна нулю, давайте сынтегрируем, вуа-ля

эту книгу рутинно перевели и американский инженер боинга нашёл, от чего был потрясён
в конце под эту формулу они получили под миллиард тогдашних баксов заказов, и военное доминирование

я полностью в курсе, что это невероятный выигрыш в рулетке

Re:и обсчёт происходят в

[yarpenzigrin]

Для этого специальнообученные люди изготавливают всякие интерполяции и аппроксимации. Которые потом ещё приводят к арифметической модели бортового процессора.
Борьба с погрешностью- не известно, чья огрешность больше: у мутного фарша, вылазящего из-под интеграла, или у процедурки численного интегрирования, которую полируют со времён F66 опять же специальнообученные люди.

Re: и обсчёт происходят в

[brevi]

Вариации на ту же тему: в финансовой математике (в отличие от, например, теор. физики) довольно большая свобода выбора динамики наблюдаемых процессов для их моделирования, ибо мало соображений симметрии, законов сохранения и т.д. Поэтому традиционно выбираются дифференциальные уравнения, у которых известны явные решения в виде формул — в первую очередь, чтобы осилить численное решение обратной задачи, то есть калибровку — подгонку заранее неизвестных параметров «фундаментальных» процессов состояния системы под наблюдаемые зависимые величины. Это о практической пользе явных решений.

Re: и обсчёт происходят в

[xaxam]

И всё равно ценность "явных" решений сильно переоценена. Студенты думают, что написав "ответ в явной форме", можно сразу получить все его свойства, что очевидно не так (формула Кардано крайне неудобна для того, чтобы с её помощью находить корни уравнения третьей степени или что-то утверждать об их свойствах).

Функция распределения гауссовой случайной величины не выписывается в элементарных функциях, что абсолютно не смущает никого с 17 века. Собственно, и с вычислимостью плотности не всё так розово: как считать экспоненту каждый раз суммировать ряд? ;-) Если какая-то трансцендентная функция (с параметрами) упорно появляется в связи с каким-то классом задач (какая-нибудь гипергеометрическая, не к ночи будь помянута), то уж будьте уверены, - её и изучат вдоль и поперёк, и затабулируют, и распараллелят вычисление на бразиллион процессоров...

Re: и обсчёт происходят в

[brevi]

Я, в принципе, согласен с общей оценкой, хотя есть нюансы :) Вспомните хотя бы революцию, связанную с полностью интегрируемыми системами — КдВ, солитоны и всё вокруг этого. Или идею, что там, где есть явные аналитические решения— там, по крайней мере, нет хаоса.

Re: и обсчёт происходят в

[xaxam]

И что мы имеем в сухом остатке? Есть исключительно редкие интегрируемые модели, которые немедленно "падают" при возмущениях (что нимало не не умаляет поразительности этих систем, - они-то точно не были "придуманы Демидовичем"). Точные решения в этих искльчительных случаях выписываются через такую экзотику (тета-функции и пр.), что простому мелиоратору от сохи от такого факта ни тепло, ни холодно.

Что такое хаос, - народ чешет репу. Наблюдают его многие (в основном, на дисплеях компьютеров), а веское слово доказательно сказать, - раз-два и обчёлся.

Re: и обсчёт происходят в

[brevi]

Модели редкие, но некоторые результаты отличаются поразительной красотой. (Вам как профессионалу этот критерий должен быть знаком.). Теорема Перси Дайфта о стробоскопе, например.

Re: и обсчёт происходят в

[xaxam]

Не слышал раньше про теорему о стробоскопе, посмотрел, - но пока не очень впечатлился. То, что алгоритм "диагонализации" симметрических матриц оказывается гамильтоновым потоком, - красиво, но не слишком удивительно. Почти во всех задачах вариационного исчисления гамильтоновость прячется в кустах. (Надо не забывать, конечно, про удвоение размерности при переходе к кокасательному расслоению, но в интересных случаях обычно в задаче бывает седловая точка, и устойчивое инвариантное многообразие через неё - лагранжево, так что можно спуститься обратно в то же число измерений и построить поток на исходном многообразии).

А тот факт, что дискретная система интерполируется потоком, - старинная классическая задача, препятствия к решению которой известны, но которая в сколько-то гиперболической ситуации обычно разрешима (ср. существование матричного логарифма у невырожденной матрицы).

Но я всего минут 20 помедитировал над статьёй Дейфта и Трогдона из архива, вполне может быть, что она глубже. Просто некоторые ассоциации выскакивают немедленно.

Re: и обсчёт происходят в

[brevi]

По английски говорят, beauty is in the eyes of the beholder. (А фамилию произносят, как «Дайфт».) Вот мне показалось ужасно красивым, что настолько дискретный алгоритм, как QR, допускает естественную интерполяцию. Это ну, как если бы, например, нашли явную систему диффуров, которая в дискретные моменты времени давала бы, скажем, оптимальный выигрышный ход из каждой шахматной позиции...

Re: и обсчёт происходят в

[brevi]

И вообще -- что такое красота в математике? На мой маленький вкус, это либо (1): неожиданно простое доказательство результата, до того или казавшегося сложным (вспоминая книжку Рудина -- доказательство фон Неймана теоремы Радона-Никодима), или такого, о котором никто раньше не задумывался (нобелевка Джона Нэша -- статья из одной страницы). Либо (2): глубокий результат, использующий минимум строительного материала, или (3): что-то, что неожиданно сводит воедино области и результаты, до того казавшиеся не связанными -- например, все классические прорывы, связывающие алгебру/анализ с одной стороны, и геометрию/топологию с другой, или даже разные области одной дисциплины (скажем, Фейнман-Кац). Результат Дайфта о стробоскопе красив именно такой неожиданной связью разных вещей.

Если тема эстетики в математике вам интересна, было бы любопытно узнать ваше мнение, лучше всего с примерами того, что вам кажется красивым.

Re: и обсчёт происходят в

[xaxam]

Я думаю, что у нас с вами почти дословно совпадающие представления о красоте в математике.

Разве что маленькое добавление: обычно особенно красивыми кажутся результаты на некотором расстоянии. На своей кухне такое случается реже, видимо, пропадает необходимый ингредиент неожиданности.

Re: формула Кардано

[yarpenzigrin]

Хороший пример. У меня был случай, когда из-за то ли погрешности в данных, то ли накопления ошибки в расчётах ф.Кардано давала невнятно-комплексные корни там, где ожидалась незначимая мнимая часть. Оказалось, что проще уравнение численно бисекцией посчитать без всяких мнимых шумов.

Re: подгонку заранее неизвестных параметров

[yarpenzigrin]

Я когда-то фитовал решение системы дифуров налету- ну, долго (и непомогло, проблема, как оказалось, была не в нелинейности, исключавшей любое аналитическое решение, а в ошибке эксперимента), но никаких особенных проблем с этим не вижу.
Но в целом согласен: если явное решениние есть, то оно может быть полезным, если оно не слишком упрощённое изначально и не слишком сложное на выходе.

Re: и обсчёт происходят в

[straktor]

я как раз такой специально обученный человек
я тоже знаю страшные слова интерполяция, аппроксимация и даже экстраполяция
они не "для этого"

накопление погрешностей в численном методе тоже вполне определённо оцениваются
фортран и "полировка" на неё никак не влияют, хоть на бейсике чм пиши, хоть на бумаге ручкой -- дабл, он стандартный
очевидно, что скажем промоделировать 1800 секунд с шагом 0.1 с накопит погрешность больше, чем скажем 20 итераций методом ньютона

Re: дабл, он стандартный

[yarpenzigrin]

да, дабл если стандартный, то стандартный. А если вообще fp нет? Но имплементации операций над ним, а так же мат. библиотек могут сильно отличатся между разными версиями компилеров, не говоря уже языков.
Кстати, довольно неочевидно, как моделирование 1800 секунд может быть связано с 20 итерациями методом Ньютона.