xaxam | Слонёнок осознаёт пользу от хобота

Проективная плоскость, или двоемыслие во благо

- Ну что, дорогая, не надоело ещё про бесконечности рассуждать?
- Если честно, пап, то надоело. Скукота какая-то. Добавили бесконечность, но запретили с ней операции делать, - на хрена она такая нужна?
- Так потому, что мы не добрались ещё до самых интересных вещей. Прекратила Шехерезада дозволенные речи, поздно уже было.
- Да какие там могут быть интересные вещи? Всё только ещё запутанней и запутанней будет. У меня уже голова трещит от всех этих "можно-нельзя"...
- А вот тут ты не права, вещи станут не запутанней, а наоборот, проще. Вот ты любишь исключения из правил?
- Конечно нет, а кто их любит! про них всегда помнить надо.
- Вот про исключения мы сейчас и поговорим. Поборемся за исключение исключений!
- Ну-ну. Но от тебя ведь не отвяжешься, давай поборемся. Подушками бороться будем?
- Нет, двоемыслием.
- Это как? Как у Оруэлла?
- Не совсем. Помнишь, мы вчера договорились до того, что "прямая - это точка"?
- Помню. Мы рассматривали все прямые на плоскости, проходящие через центр. Если зафиксировать какую-нибудь другую прямую К, НЕ проходящую через центр, то почти каждая такая прямая-точка пересечёт прямую-карту К в единственной настоящей точке, которую мы назовём "изображенем прямой-точки на карте К". Единственное исключение - прямая через центр, которая параллельна К и поэтому "не видна" на этой карте. Чтобы увидеть её, надо взять какую-нибудь другую прямую-карту, Д, не параллельную прямой-карте К. На ней исключительная прямая будет видна, зато не будет видна прямая-точка, параллельная Д. Бóльшая часть прямых-точек прекрасно видна на обеих картах, и легко сообразить, как по "изображению прямой-точки на карте К" найти "изображение этой же прямой-точки на карте Д" и наоборот.
- Умница! Все так и есть. Мы построили "проективную прямую" как множество "прямых-точек на плоскости". А теперь мы построим "проективную плоскость" как множество прямых-точек в трёхмерном пространстве.
- Ой. У меня с пространственным воображением не очень-то.
- А очень-то и не надо. Достаточно представить себе, как прямая и плоскость могут быть расположены в пространстве.
- Ну, прямая может лежать в плоскости, как спица на столе. А ещё может пересекать плоскость, как длинный гвоздь, вбитый в дверь.
- А какое-нибудь ещё третье положение может быть?
- А может?
- Ну, представь себе другую плоскость, параллельную заданной. Как две противоположные стены в "прямоугольной" комнате, как противоположные грани куба, продоженные неограниченно: они никогда не пересекутся (поэтому-то их и назвали параллельными, по аналогии с прямыми). Если прямая лежит в этой параллельной плоскости, может она пересечь исходную плоскость?
- Разумеется, нет.
- Такие прямые мы тоже назовём параллельными исходной плоскости. Не запутаешься?
- Нет, пока всё логично, параллельный - значит не пересекается.
- Это не так: в трёхмерном пространстве две прямые могут быть не параллельными друг другу, но и не пересекаться. Подумай об этом на досуге, хоть сейчас это для нас и не существенно.
Итак, поехали. Рассмотрим все "прямые-точки", проходящие через центр в трёхмерном пространстве, и выберем какую-нибудь плоскость-карту П, не проходящую через ноль. Каждая "прямая-точка" пересечёт нашу карту в единственой настоящей точке, которую мы будем по аналогии с предыдущим случаем называть "образом прямой-точки на карте П". Как и в прошлый раз, будут "прямые-точки", которые не поместились на карте П, - все они лежат в плоскости, параллельной П и проходящей через центр. Но мы уже знаем, что в таком случае надо делать: надо взять другую плоскость Р, не параллельную П, и использовать её в качестве другой карты.
- И как в прошлый раз будет, - что не видим в одной карте, увидим в другой?
- Почти. Обозначим те прямые-точки, которые НЕ ВИДНЫ в карте П, через П*: это плоскость в пространстве, проходящая через центр. Те, которые НЕ ВИДНЫ в карте Р, обозначим через Р*, это другая плоскость, тоже проходящая через центр, и она не совпадает с П*. Из чего состоит пересечение П* и Р*?
- Две разные плоскости, проходящие через общую точку... Прямая, которая проходит через эту общую точку?
- Бинго. Всегда найдётся "прямая-точка", которую не увидать ни в карте П, ни в карте Р.
- И что теперь делать?
- А кто сказал, что в атласе может быть только две карты? Возьмем произвольную третью плоскость-карту Т, не параллельную нашей злосчастной прямой-точке. На ней-то она точно будет видна.
- А трёх карт будет достаточно?
- Ну вот наше рассуждение доказывает, что при правильном выборе трёх карт всегда хватает. И, как всегда, почти все прямые-точки видны на каждой из трёх карт.
- Итак, проективная плоскость - это всевозможные прямые-точки в пространстве, а "настоящими" точками мы их видим в разных картах. А что на этой плоскости есть ещё, кроме точек?
- Ну, скажем, некоторые множества точек "организуются" в прямые. Проективные прямые, разумеется.
- Это как?
- Давай возьмем карту П и двумерную плоскость Л, проходящую через центр. Л состоит из бесконечного числа прямых-точек, посмотрим, как они изображаются в карте П.
- Вроде бы не очень сложный вопрос. Л и П - две плоскости в пространстве. Они пересекаются по прямой линии, лежащей в П. Значит, все точки расположатся вдоль какой-то прямой в карте.
- Да. За одним исключением. Сама сообразишь?
- Ой, ну конечно. Если Л параллельна П, то пересечение будет пусто, и в карте П мы ничего не увидим.
- Именно! Поэтому проективные точки, которые мы не видим в карте П, образуют "бесконечно удалённую прямую".
- А что такое "проективные точки"?
- А это мне надоело ломать язык двоемысленным сочетанием "прямая-точка". Для нас она уже настолько похожа на точку, что можно перестать упоминать каждый раз, что она на самом деле родилась, как прямая.
- ОК. Значит, проективные точки могут собираться в проективные прямые. А что мы про них знаем?
- Всё. Точнее, всё, что мы знаем о плоскостях в пространстве.
- Ну, например?
- Например, через любые две проективные точки проходит единственная проективная прямая.
- Почему?
- А потому же, почему две разные прямые, проходящие через центр, единственным образом определяют плоскость, содержащую обе эти прямые.
- Я тебе поверю, потому что похоже на правду, но вообще-то такую теорему мы ещё не проходили.
- Увы. Я же говорил про то, что до девятого класса, возможно, придётся подождать. Может быть, дальнейший разговор чуть-чуть добавит тебе уверенности.
- А что про пересечение двух прямых?
- А сама-то что думаешь?
- Любые две разные плоскости, проходящие через центр, пересекаются по единственной прямой.
- Отлично! а теперь то же самое на "проективном языке"?
- Постой... получается, что любые две разные проективные прямые пересекаются в единственной проективной точке? А как же параллельные прямые?
- Так в том-то вся прелесть! Параллельных прямых на проективной плоскости нет!
- То есть как это нет? Давай возьмём какую-нибудь карту П, проведём там две параллельные прямые, они же не пересекаются?
- Они пересекаются, но в той точке, которая не видна на карте П. Как говорят, "пересекаются на бесконечности". Мы же не зря говорим про "проективные прямые". На самом деле к каждой обычной прямой на карте П мы добавили одну "бесконечную" точку так же, как мы это делали вчера. И оказалось, чудесным образом, что все эти добавленные точки сами собираются вдоль "проективной прямой", той самой, которую мы не видим в карте П.
- Ух ты! вот это да! Получается, никаких исключений в виде параллельности?
- Не за это ли мы боролись?
- Но значит, это не настоящая геометрия?
- Самая что ни на есть настоящая, надо только помнить, что проективная прямая - это больше, чем обычная прямая, а среди проективных точек есть те, которые не видны в данной карте.
- А в другой карте?
- А в другой карте не происходит ничего особенного.
- Ну, например, давай нарисуем сто прямых, параллельных друг другу в карте К. Как они будут выглядеть в карте Р?
- Прямая, "бесконечная" в карте П, будет выглядеть, как обычная прямая в карте Р. Скорее всего, все эти прямые будут выглядеть, как связка прямых в карте Р, проходящих через одну общую точку.
- А почему "скорее всего"?
- Потому, что есть один исключительный случай, когда и в карте Р они будут выглядеть, как семейство параллельных прямых. Но тогда уж точно в карте Т мы получим связку прямых, проходящих через одну общую точку.
- Кажется, поняла, но надо подумать.
- Подумать всегда полезно.
- А кроме прямых, что-нибудь ещё есть в этой твоей проективной геометрии? например, окружности там есть? касательные всякие? синусы-косинусы?
- Есть, но давай подойдём систематически. Про метод координат ты ведь слыхала немного?
- Самую малость.
- Много и не надо. Проективная точка, как мы договорились, изображается тройкой чисел, отличных от тройки (0,0,0), и две тройки считаются одинаковыми, если одну можно сократить до другой, поделив все три числа на общий ненулевой множитель. Чтоб не забывать про эту возможность сокращения, мы будем пользоваться двоеточием, как в младших классах обозначали пропорции. Итак, точка - это тройка чисел (x:y:z), определяющая прямую в пространстве, проходящую через (0,0,0).
- А что такое прямая?
- Давай смотреть. Плоскость в пространстве, проходящая через ноль, задаётся уравнением ax+by+cz=0, где тройка чисел (a,b,c) должна отличаться от (0,0,0) и две тройки задают одну и ту же плоскость, если они отличаются на общий ненулевой множитель. Обрати внимание: уравнение плоскости - однородно: если ему удовлетворяет тройка (x,y,z), то и тройка (sx,sy,sz) ему удовлетворяет. Значит, это условие накладывается не на точку в пространстве, а на "проективную точку", т.е., прямую в пространстве.
- А что мы увидим в карте?
- Давай возьмём карту П, заданную уравнением z=1. Тогда проективной точке (x:y:z) будет соответствовать точка (x/z,y/z,1) на П. Обозначим x/z=u, y/z=v: это и будут координаты нашей проективной точки в карте П, разумеется, при условии, что z отлично от нуля. Поделив уравнение прямой на z, мы получим уравнение au+bv+c=0 с теми же самыми a,b,c. Какое множество оно задаёт?
- Скорее всего, - прямую линию. Но могут быть исключения.
- Например?
- Ну, если a=b=0, а c не равно нулю. Тогда уравнение 0=1 задаёт пустое множество.
- Да, это будет та самая прямая на бесконечности.
- А что с пересечением двух прямых?
- Пересечение задаётся системой двух уравнений. Напиши их сначала.
- Пускай это ax+by+cz=0 и px+qy+rz=0.
- Ну, и почему у них всегда будет общее решение?
- Из первого уравнения хотя бы одну переменную можно выразить через две других и подставить во второе уравнение. Получим новое уравнение Ax+By=0, у которого хотя бы одно решение, отличное от x=y=0, есть всегда. Если A=B=0, то решений бесконечно много, и это может быть, если две исходных прямых изначально совпадали.
- Т.е., все дело в том, что уравнения однородны, а в правой части стоит нуль?
- Именно!
- А что с окружностью?
- Ну давай смотреть. Предположим, в карте П мы имеем уравнение u^2+v^2-1=0. Это ведь окружность?
- Несомненно.
- А какой вид это уравнение примет в изначальных переменных (x,y,z)?
- (x/z)^2+(y^z)^2-1=0.
Но в левой части ведь не многочлен?
- Не многочлен, но мы можем сделать его многочленом. Сообразишь, как?
- Умножим на z^2.
- Совершенно точно. После всех сокращений получаем очень симметричное уравнение x^2+y^2-z^2=0. Чем оно хорошо? той же самой однородностью: если ему удовлетворяет тройка (x,y,z), то и тройка (sx,sy,sz) ему удовлетворяет при всех s не равных нулю.
- А что мы увидим в других картах?
- Ну, например, в карте, где координатами являются (x/y, 1=y/y, z/y)=(m,1,n), уравнение примет вид m^2+1-n^2=0, т.е., n^2-m^2=1. Это - уравнение гиперболы.
- Неужели и параболу можно получить?
- Элементарно. Всё зависит от того, как расположено в данной конкретной карте множество с однородным уравнением x^2+y^2-z^2=0 по отношению к бесконечно удалённой прямой. Если не пересекается, - получим окружность или эллипс. Если пересекается в двух разных точках - получим гиперболу. Если касается в одной точке, - будет парабола.
- Подожди, но ведь понятие "бесконечная прямая" зависит от карты! А если никакой карты не указывать, получается, что есть всего одно множество, заданное уравнением второй степени?
- Почти. Есть множество x^2+y^2+z^2=0, которое пусто в любой карте. Но это только потому, что мы ещё не затеяли срач на тему, что такое корень из минус единицы.
- Давай подождём, пока я в следующий класс перейду!
- Ну давай. Заслужила, чоужтам.