Palate cleanser

[xaxam]

Навстречу дню ВМФ

У Шкробиуса какое-то время назад был замечательный пост про то, может ли плоская поверхность быть ограниченной, но без края, и как тогда магелланы, живущие на такой поверхности, могли бы об этом догадаться.

Ответ, очевидный математикам, тем не менее не всем может быть знаком. Плоская поверхность - это поверхность, которая может быть склеена из куска листа бумаги. У такого куска, конечно, есть края, но их можно приклеить друг к другу так, чтобы они "взаимно исчезли". Возьмём прямоугольник (лучше сильно вытянутый), свернём его в длинную трубочку и склеим две длинных противоположных стороны. Получим цилиндр (трубку), у которой есть два края, каждый в форме окружности. Наивная попытка согнуть трубочку в кольцо не получается: трубочка жёсткая и гнуться не хочет. Надо сначала сплющить её, разгладив рукой, так что из круглой трубочки она станет "полоской". А вот теперь уже можно края полоски загнуть навстречу друг другу и склеить так, чтобы никаких краёв не осталось.

Получившаяся поверхность окажется "негладкой", поскольку на ней появились ребра складок. Однако ж с точки зрения маленького магеллана, плывущего по такой поверхности, никаких проблем нет: доплывя до складки, он перебирается с верхнего листа на нижний "по прямой", мысленно разогнув складку и превратя её в плоский кусочек листа бумаги.

Может ли магеллан, плавающий по такой поверхности (она называется "тор", или, точнее, плоский тор), отличить свой мир от поверхности громадного шара (Земля, она же сфера)? Сфера, конечно, не плоская, но обитателям Земли вполне можно объяснить, что такое "прямая линия". Это попросту линия кратчайшего пути между не слишком далёкими точками. В школе, кажется, ещё объясняют, что такие линии на настоящей, идеально круглой сфере, - это дуги больших кругов (экватора, любого из меридианов и вообще любой кривой, высекаемой на сфере плоскостью, проходящей через её центр). Название "геодезическая" специально подчёркивает, как такие линии строятся.

Что будет, если Магеллан (настоящий, земной) плывёт всё время по "прямой линии" (геодезической)? Ответ: описав большой круг, он рано или поздно вернётся в начальную точку. Более того, имея достаточно времени, Магеллан обнаружит, что время до возвращения (в предположении постоянной скорости) совершенно не зависит от того, откуда и в каком направлении он начинает плыть. Это кажется невероятным сначала, но уж больно симметрична идеально круглая сфера.

А что скажет на это магеллан, плавающий по плоскому тору? Если он поплывёт в направлении, перпендикулярном длинной стороне исходного прямоугольника, то довольно быстро вернётся в исходную точку, где бы её не взять: его путь на длинной трубочке, получившейся после первого склеивания, будет окружностью. С другой стороны, если он поплывёт параллельно длинной стороне, то плыть ему придётся довольно долго, прежде чем он вернётся в начальную точку. Что же будет, если он поплывет под каким-нибудь другим углом? Оказывается, иногда магеллан будет возвращаться домой после всё более и более долгого странствия, однако в подавляющем большинстве случаев он так никогда и не вернётся в начальную точку, хоть и будет проплывать всё ближе и ближе от неё. Чтобы понять это, проще всего рассмотреть прямоугольную решётку, о которой пишет Шкробиус. Более того, форма решётки несущественна, - тор можно склеить не только из прямоугольника, а и из любого параллелограмма.

А есть ли ещё плоские поверхности без края? Строго говоря - нет, но есть плоские поверхности почти без края. Возьмём, скажем, поверхность куба: её можно склеить из бумаги (кто этого не делал в детстве?). На поверхности куба можно рисовать "прямые линии": такая линия выглядит прямой на каждой грани, а когда она доходит до ребра между двумя гранями, надо мысленно разогнуть лист бумаги, и тогда сразу будет видно, как её продолжать на следующей грани. Единственная проблема возникает, если прямая линия упирается в вершину куба: тогда непонятно, на какую грань и каким образом она перейдёт. Но таких линий "сравнительно мало", и ими можно пренебречь (так что край с одной стороны есть, с другой стороны, он очень маленький, не линия, а несколько отдельных точек).

Что скажет нам кубический магеллан? Хе-хе, можете попробовать свои силы. Легко построить кругосветные пути на кубе, которые проходят по четырём граням, - они все имеют одинаковую длину. Похоже на сферу. Но есть и другие, - и даже не лежащие в одной плоскости. Оказывается, есть и бесконечные.

Забавным образом, гораздо проще описать опыт магеллана на правильном тетраэдре (жителям СССР он был хорошо знаком как "треугольный пакет молока"). Оказывается, что молочный магеллан с большим трудом может отличить свой пакет от плоского тора, описанного выше. Надо будет внимательно подсчитывать "число" кругосветных маршрутов разной длины.

Математикам, возможно, интересно будет узнать, что эти задачи (описание геодезических на правильных многогранниках) поставили и решили всего-то в 2007 году. Даже самый факт, что плоский тор реализует двукратное накрытие поверхности правильного тетраэдра, требует нескольких минут размышления. А нематематики могут удивиться, узнав, что подсчёт числа замкнутых геодезических разных периодов ("житейский опыт магеллана, накопленный за бесконечное время") может и в неплоском случае однозначно определить форму земли (скажем, неидеально круглой сферы). А тем, кому опыт дальних странствий безразличен, может быть интересно, что очень во многих случаях идеальный слушатель может услышать форму барабана/литавры, даже если эти литавры не круглые, а имеют форму скрипичного ключа или эллипса.

Comments

[aphar]

У тора старшие гомотопические группы тривиальны (т.к. тор накрывается гомотопически тривиальной плоскостью).
У тетраэдра (который топологически сфера) это не так.
Так что тор не может накрыть тетраэдр.
Ну или можно по-другому: фундаментальная группа тетраэдра тривиальна, посему любое его накрытие тривиально.
Или я Вас неправильно понял?

[xaxam]

Накрытие изометрическое, но разветвлённое над вершинами.

[epimorphisms_split]

А вот есть посторонний вопрос, но как раз о многогранниках, так что попробую спросить здесь.

Заданы ребра многогранника (как отрезки в трехмерном пространстве), надо восстановить грани. Если он выпуклый, все тривиально. Если он неодносвязный, то решение неоднозначно, один набор ребер может соответствовать нескольким разным многогранникам. Может ли такая неоднозначность быть с односвязными многогранниками?

Я знаю, что единого определения невыпуклого многогранника не существует. Интересует самый простой случай, без самопересечений и всяких таких штук.