![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
xaxamАнонс: какими числами мы пользуемся
Предыдущие посиделки для кухарок о математике посвящены были философскому вопросу: а почему вообще нам что-то удаётся считать, хотя бы "на пальцах". Oказалось, что достаточно выстроить что угодно в очередь так, чтобы в каждый момент было ясно, "кто следующий", и тогда на этом чтоугодне естественным образом вырастают, как плесень на хлебе, все арифметические операции, отношения неравенства "меньше-больше", со всеми их знакомыми свойствами, и это чтоугодно оказывается множеством натуральных чисел с точностью до замены их названий на мужские имена.Этот этап человечество прошло в полной бессознанке: складывать и умножать люди научились гораздо раньше, чем задались вопросом о том, что это за манипуляции и откуда они взялись. Надо было, - и научились. А дальше каждый народ в одиночку начал сражаться с тем, что натуральных чисел категорически не хватало для культурной насыщенной жизни. Например, вычитать можно было только меньшее из большего, а делить вообще только тогда, когда сильно повезёт. Индусы, египтяне, вавилоняне придумывали свои правила, как делить то, что не делится, и вычитать невычитаемое. Формулировалось это в виде баек и примеров, никакой теории не было и не могло быть, пока на поле не вышли греки (в основном ионические, т.е., турецкие). Они разработали теорию дробей так, что любой философ после окончания академии мог сложить любые две дроби друг с другом и поделить одну на другую. Пифагор так тащился от того, что дробями стало можно выразить всё на свете, что объявил арифметику первоосновой мира: Вначале Было Число...
Однако ж творение Пифагора практически сразу рухнуло и разбилось вдребезги. Оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражается числом! Диагональ есть, а числа нет. И дело не в точности измерения: это была мегакатастрофа, Чисел оказалось меньше, чем Геометрических Фигур.
Что делает Философ, когда обнаруживает, что его Философия бедней и некрасивей, чем другая Философия? Он уходит к той, что богаче и красивей. После Пифагора греки перестали морочить друг другу голову гармонией небесных струн и объявили существующими только Геометрические Фигуры, более конкретно, те, которые можно построить при помощи циркуля и линейки (отдельный разговор, как делать построения в трёхмерном пространстве, но это уже детали). Мир, открывшийся геометрам, оказался невероятно богат и красив, и поколение за поколением рисовало на песке и папирусе треугольники ABC и вписанные в них окружности с центром в О.
Но никакое блаженство не вечно. Довольно быстро греческие геометры натолкнулись на несколько задач, которые не решались в рамках добровольно взятых на себя ограничений: построить отрезок, равный длине окружности с единичным радиусом, построить куб объёма вдвое больше, чем данный куб, и поделить произвольный угол на три равных части. Но то, что эти конкретные задачи не решались, не стояло препятствием перед геометрами: они были терпеливы и ждали, пока какой-нибудь новый Аполлоний решит что-нибудь, а пока занимались тем, что получалось.
Тем временем за пределами песочницы жизнь текла своим чередом, римлян, ценивших греческую науку за практические приложения, сменили варвары, которым римских дорог и мостов хватило еще на несколько сот лет. Мир ненадолго погрузился в Средневековье, и вышел из него несколько иным. Греческий канон геометрической строгости окуклился и стал скорее иконописной традицией: искусство проведения геометрических рассуждений сохранилось, но никакого active research не было. "Всё, что надо знать, уже написано у Евклида, Евдокса и Аполлония". Зато через арабов до европейцев дошли практические методы разного рода вычислений, и пифагорейская боязнь чисел постепенно уступала место практической хватке, - если надо что-то посчитать, и удаётся разными ухищрениями получить правильный ответ, - бог с ними с объяснениями, почему эти ухищрения работают.
В поисках бытовых удобств европейцы (приписывается Виета) придумали символьную алгебраическую нотацию, включающую операцию извлечения квадратных и кубических корней, и тем самым незаметно для самих себя списали как малоинтересную задачу удвоения куба. Задача трисекции угла свелась к кубическому уравнению, формулу для корней которого открыл Тарталья в 1530 году (в России как раз родился Иван Грозный), а опубликовал несколько лет спустя Кардано. Формула страшненькая, но при ближайшем рассмотрении сводится к арифметическим операциям и извлечению квадратных и кубических корней. Серьёзной трудностью для Тартальи и Кардано было то, что в случае, когда кубическое уравнение имеет три корня, формула, которая их вычисляет, требовала вычисления квадратных корней из отрицательных чисел. Все знают, что такие корни не извлекаются, однако оказалось, что если ввести новое "число", квадрат которого равен минус единице, то с таким числом можно обращаться почти так же, как с обычными числами: в процессе вычислений по формуле Кардано это мнимое число появляется, некоторое время участвует в промежуточных вычислениях, а потом волшебным образом сокращается и в окончательный ответ не входит. Эдакий шабес-гой: пришёл, растопил самовар, символически чашку выпил и ушёл, а почтенное семейство с удовольствием пьёт чай с оттенком лёгкого неудовлетворения и недоумения.
Но это была серьёзная проблема, с ней удалось справиться реально только Гауссу много позже, на рубеже 19 века. А пока итальянцы извлекали несуществующие корни, на севере Европы два (как минимум) великих ума сражались с гораздо менее заметной, но всё же очень серьёзной проблемой. Впервые после Архимеда, европейские математики обнаружили, что две задачи, - вычисление площадей/объёмов (очень практически важное) и вычисление скорости/ускорения (х.з., что это такое) - это типа сложение и вычитание: умеешь делать одно, - умеешь делать и другое. Но в процессе возникла проблема - объяснить, что имеется в виду. Один великий ум (Ньютон) рисовал картинки и говорил про касательные к эллипсам, по которым крутятся небесные тела. Другой (Лейбниц) был нацелен на гораздо большее и проповедовал теорию того, что наряду с известными (рациональными) числами есть ещё бесконечно-малые числа.
Если кому интересно, - продолжение легко воспоследует (ну не надо меня уговаривать, я и так согласный). Но всё же если есть пожелания, - пишите, прочтём.
no subject
Date: 2017-11-20 05:21 pm (UTC)опять пиндосы украли чужое изобретение и переделали под своё...
no subject
Date: 2017-11-20 05:28 pm (UTC)И поподробнее про битву титанов (как раз Quicksilver читаю).
no subject
Date: 2017-11-20 06:41 pm (UTC)no subject
Date: 2017-11-20 07:57 pm (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 01:00 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 03:22 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 05:32 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 05:38 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 05:40 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 06:04 am (UTC)no subject
Date: 2017-11-21 07:01 am (UTC)