А ты не увиливай, ты прямо смотри!

[xaxam]

Задача имени Шкробиуса

По следам (не закончившихся ещё) обсуждений у Шкробиуса по поводу того, как надо "правильно" определять извилистость гладкой кривой на плоскости, придумал такую вот задачку. Но сначала небольшой "разогрев" с кием и бильярдным шариком.

Рассмотрим "бильярдный стол", состоящий из двух близких параллельных стенок и двух открытых торцов ("широкие лузы"). Ширина "стола" - малый параметр. Если в такой бильярд запустить шарик параллельно стенкам, то он, конечно, вылетит с другой стороны, ни разу не стукнувшись. Но даже если мы сделаем небольшую ошибку и запустим шарик под малым углом к оси, он несколько раз успеет отразиться от бортов, прежде чем вылетит с другого конца. Задача посчитать, сколько раз он стукнется (в зависимости от соотношения длины и ширины, а также угла) - отличное развлечение для шестиклассника.

Теперь предположим, что ещё и сам бильярд сделан кривыми руками, и стенки его не совсем параллельны и размер выхода меньше размера входа. Тогда оказывается, что возможен эффект "внутреннего отражения": даже при малых углах начального отклонения шарика от оси бильярда шарик, поболтавшись какое-то время внутри, вылетит обратно через ту же дырку, через которую влетел. Это задача на качественном уровне тоже доступна семикласснику, хотя обсчитать её немного сложнее.

А теперь - задача имени Шкробиуса. Предположим, что изготовитель бильярдов ещё более криворук и сделал стол таким образом: нарисовал на плоскости гладкую кривую (скажем, дугу окружности или график какой-то хорошей функции), после чего сделал стенки так, чтобы они везде были на одном и том же расстоянии от кривой ("эквидистанты"). Если расстояние оказалось слишком большим, то такие стенки могут оказаться не гладкими кривыми, а иметь особенности (ключевое слово -растояние до забора надо сравнивать с радиусом кривизны кривой там, где этот радиус достигает минимума). Но предположим, что до такого безобразия дело не дошло, и мы имеем дело с "узким каналом постоянной ширины" вокруг хорошей кривой. Вопрос, - может ли бильярдный шарик в таком бильярде испытывать "внутреннее отражение"?

Постоянство ширины вроде бы делает невозможным сценарий типа описанного выше, поскольку "в линейной аппроксимации" мы имеем канал с параллельными стенками. С другой стороны, кривизна канала тоже вносит свои коррективы. Скорее всего, ответ можно угадать, рассмотрев канал между узкими концентрическими окружностями (такая задача тоже решается элементарно), но не факт, что идеально круглый и "примерно круглый" канал будут вести себя одинаково.

Наконец, самая интересная (?) задача, - что будет, если "осевая кривая" канала делает перегиб. С одной стороны, вблизи перегиба "кривой канал" становится ещё ближе к "прямому каналу" и, значит, такие перегибы шарик должен был бы пролетать со свистом. С другой стороны, - вдруг там что-нибудь накопится?

Для "технарей": задача имеет несколько естественных параметров, из которых два (ширина канала и начальный угол, под которым влетает шарик) - малые. Если мы будем считать пределы, надо аккуратно смотреть, в каком порядке мы переходим к пределу "малый параметр стремится к нулю". Я специально не формулирую задачу точно, - правильный вопрос есть часть задачи.

Для "физиков": может быть, надо считать не число отражений от стенок, а суммарный нормальный импульс, переданный шариком стенкам. Изначальная идея была мерить извилистость "осевой кривой" как меру гидродинамического сопротивления, которое капилляр оказывает току протекающего газа (жидкости, вязкой жидкости, суспензии...)

Update. Вот здесь vsvor нашёл элементарный аргумент, доказывающий, что из канала постоянной ширины внутреннего отображения быть не может!

Comments

[ayudug]

У Ханина с соавторами есть статья про это, но они не изгибают волокно а ставят в него маленькие препятсвия и показывают что почти все частицы вылетают обратно.

https://arxiv.org/pdf/0911.1984.pdf

[epimorphisms_split]

Если представить себе канал ширины 2+ε в виде сильно растянутой синусоиды (ширина мала по сравнению с расстоянием между точками перегиба и радиусом кривизны), то особо удачливая частица (влетевшая под нулевым углом точно в середку) может пролететь ее, не задев ни одного горба по дороге. Но если уж немного заденет, то траектория немного отклонится, и тогда горб на противоположной стенке будет задет посильнее. Что будет дальше, не знаю, надо шшытать.

[signamax]

к сожалению не могу прочесть шкробиуса в жж

вопрос про канал

а как поведет себя в этом канале взвесь маленьких шариков в вязкой жидкости ?

(жидкость более вязкая чем вода но не сильно)

[xaxam]

Понятия не имею. Бильярды всё же довольно хорошо изученная и сравнительно простая модель. "Чистая" гидродинамика, наверное, позволяет как-нибудь "подкрутить", скажем, течение Пуазейля, чтобы оно текло вдоль гладкого кривого шланга, а не вдоль прямой. Но это уже не моя чашка чая точно. А уж как выглядит течение суспензий (а вдруг ещё и с анизотропными частицами), - тут я даже не уверен, что сами уравнения человечество умеет выписывать, не то что решать...

[xaxam]

Всё-таки совсем другая задача. Есть (решённая) задача о том, как ведёт себя бильярд на плоском торе, из которого вырезана круговая/сферическая дырка (рассеивание на поверхности отрицательной кривизны, классическая гиперболическая по Аносову система). "В жизни" это эквивалентно задаче о рассеивании на системе одинаковых шаровидных зеркал с центрами в целых точках.

Ханин и Ко. заменяют шаровидные зеркала прямолинейными отрезочками (гиперболичность пропадает).

[signamax]

а я всего лишь говорил о кровеносных сосудах

тем временем мне попеняли что проблема дефицита врачей высосана из пальца и простенький софт легко решает проблему диагностики

[xaxam]

>>> простенький софт легко решает проблему диагностики

А географию учить ненадобно, ибо на то есть извозчики.

[signamax]

а я меж тем не шучу

[xaxam]

А с какой достоверностью/надёжностью "простенький софт" ставит правильный диагноз?

[signamax]

судя по уверенности предложения такой идеи - со стопроцентной

зы
для справки
- как известно - патанатом - лучший диагност
и хотя это типа шутка - но на самом деле патанатом - это единственный настоящий диагност
в северной америке стандартом индустрии для патологов является 2% "ошибочных" диагнозов (по годам считают)

два известных мне непонаслышке департамента имеют 0.8-1.0%

* "ошибочным" - не всегда значит приведшим к трагической ошибке
чаще всего ошибка не имеет клинически значимых последствий
какой процент РЕАЛЬНО ошибочных с последствиями - я не знаю, надо искать

хочу увидеть этот софт

[xaxam]

Я скорее имел в виду "типовую систему массового обслуживания", когда проиходит больной к семейному доктору, тот смотрит и думает про себя: скорее всего, вирусок ерундовый, полежать дома, чайку с малиной. Но с небольшой вероятностью может быть гадость и посерьёзней, - если через пару дней лимфатические узлы опухнут, надо будет анализы сделать. Если вовремя поймаем, - ничего страшного. Но есть ещё совсем малый шанс, что это тралалала, и тогда надо трулулу. В общем, попейте чайку с малиной, а через пару дней зайдите, я вас пощупаю.

Софт в этой ситуации либо сразу будет посылать на все мыслимые анализы сразу, и тогда система "ляжет", либо будет в принципе игнорировать все сценарии, кроме ерундового вируска. А вот тогда уже "ой".

[signamax]

для этого софт называется гугл

а человек для такого называется фельдшер

врач нужен для "непропускания" редких вещей - это контроль качества

[xaxam]

Так про то и речь, - система обязана быть иерархической, на нижнем этапе вообще до всякого фельдшера надо минимальную медицинскую грамотность населения подымать... С другой стороны никогда нельзя быть уверенным, что врач не "проглядел" что-то, поэтому гуглить "с перепугу" тоже нелишне. В крайнем случае, врач расхохочется и объяснит, почему страхи и опасения - необоснованные.

[signamax]

полностью согласен

особенно с грамотностью населения
вместо gender studies можно вполне медицину преподавать и мелкие практические навыки
и главное надо преподавать как пиплу взаимодействовать с системой здравоохранения - это тоже навык выживая в дремучем лесу

[xaxam]

>>> особенно с грамотностью населения

Я подозреваю, что школоте и "студиозусам" в их возрасте ещё невдомёк, что когда-то и им придётся столкнуться с проблемами здоровья, им существеннее быть "в струе" относительно того, как лучше сделать катьеру (что нужно отвечать на собеседованиях, чтобы получить работу). Есть и ещё одна проблема, - когда эта поросль столкнётся с медициной, поди знай ещё, как будет выглядеть та медицина, и как с ней взаимодействовать.

Но делать что-то, пускай и насильственно, несомненно надо. Я не знаю, как в Америке с самолечением, но русскоязычная среда в основном концентрируется на обобщённой уринотерапии (врачам верить нельзя, - они обирают всех, кого могут).

[signamax]

дело не в невдомеке а просто в навыках

это как подсчитывать сдачу

здравоохранение будет выглядеть всегда одинаково - это взаимодействие человека и бюрократа

медицина также будет выглядеть всегда одинаково - это взаимодействие человека и специалиста

задача понятна в общей форме
но нужно иметь навыки навигации частных приложений

[signamax]

я практически не общаюсь с этой местной средой
мне невдомек