О пользе дифференциального исчисления

[xaxam]

Интеграл

Какое практическое применение интеграла? Ну вот, скажем, как-то у меня наручные часы упали в унитаз. Ну я, будучи математиком, не растерялся, а взял проволоку, выгнул ее в форме интеграла и достал часы. Так-то! Приписывается министру Фурсенке

Интеграл - это восстановление яблока по тоненьким долькам

Задача вычисления площадей и объёмов геометрических фигур всегда была стратегически важной, начиная с составления смет на строительство египетских пирамид и сельскохозяйственных отчётов надзирателей над рабами в Третьей династии Ура, где впервые сформулировали (без доказательства) теорему Фубини (см. фото) для кусочно-постоянных функций.

Начнём с того, как вычислять площадь круга определённого радиуса. Что такое площадь вообще, - отдельный разговор, очень интересный, но пока мы останемся на школьном уровне. Площадь единичного квадратика считается равной единице по определению, а главная аксиома площади - "аддитивность": если разрезать фигуру на конечное число частей, то площадь фигуры равна сумме площадей частей. Прямоугольники можно (ну, если не особенно занудствовать) разрезать на маленькие квадратики, отсюда мы делаем вывод, как считать площадь прямоугольников. Прямоугольник можно разрезать по диагонали на два равных прямоугольных треугольника, значит, площадь каждого из них равна половине произведения катетов. Произвольный треугольник можно разрезать по высоте на два прямоугольных треугольника, отсюда формула "половина основания на высоту". Ну, а уж на треугольники-то мы можем разрезать всё, что угодно. Или нет?

Таки-нет. Окружность - кривая линия, поэтому как бы ни кромсали круг прямолинейными разрезами, среди кусочков обязательно будут обрезки с кривой границей. Поэтому, строго формально, из нашего исходного определения мы никогда не сможем вывести формулу для площади круга. Однако ж давайте посмотрим, можем ли мы приблизительно оценить площадь круга.

Для этого мы разрежем круг на тонюсенькие дольки (с вершиной в центре, разумеется). Каждая долька ограничена двумя радиусами и крошечным куском дуги окружности. Где там наш микроскоп? Под микроскопом дуга окружности, как мы знаем, выглядит почти прямой, если она настолько мала, что целиком попадает в поле зрения после увеличения. Значит, долька всё сильнее напоминает равнобедренный треугольник, построенный на хорде, как на основании, и с боковой стороной, равной радиусу. Площадь такого треугольника равна половине длины основания (хорды) на высоту, которая неотличима от радиуса. Сумма площадей всех долек равна суммарной длине всех хорд, помноженной на половину радиуса. Суммарная длина всех хорд равна периметру круга, т.е., , стало быть, площадь круга равна . (Подобное рассуждение может быть использовано и для объяснения того, что такое длина окружности, - с понятием длины те же сложности, что и с понятием площади). Так или иначе, мы справились с упражнением, - как просуммировать большое число малых, но похожих друг на друга слагаемых. Ответ, очевидным образом, не изменился бы, если бы мы нарезали торт на неравные дольки, - главное, чтоб каждая из них становилась всё меньше и меньше.

Резать на треугольные дольки - совершенно необязательно. Как раз технически проще резать на тонкие полоски. Рассмотрим, скажем, треугольник, образованный на плоскости осью иксов, прямой и вертикальным отрезком . Как посчитать его площадь? Ответ известен, - треугольник прямоугольный, основание равно единице, высота - , площадь - . Давайте теперь разрежем этот треугольник на узенькие "полоски", скажем, на сто частей, вдоль вертикальных отрезков над точками . Каждая полоска - трапеция с основаниями и и высотой , поставленная "боком". Площадь такой трапеции равна. Сумму всех площадей можно посчитать (если кто помнит формулу для суммы членов арифметической прогрессии) и убедиться, что "ответ сошёлся".

Как обобщить эту технологию на случай, когда нам надо посчитать площадь "криволинейной трапеции", заключённой между графиком "произвольной" положительной функции , осью иксов и двумя вертикальными прямыми, и . Такая задача выбрана не случайно, поскольку на подобные "криволинейные трапеции" можно разрезать любую фигуру, ограниченную заданной замкнутой кривой (попробуйте с окружностью разобраться).

Рецепт вычисления в принципе тот же тот же самый, что с разрезанием круга. Надо сначала разбить отрезок на оси иксов точками . Единственное условие - расстояния между соседними точками должны быть очень малы (если кому думать особенно не хочется, можно разбить на равные интервалы, отлично сойдёт). Насколько малые - зависит от функции , которую мы собираемся интегрировать. Тогда каждая полоска будет иметь "высоту" (мы всё ещё представляем себе полоску как трапецию, повёрнутую набок) , основание "примерно , ну, может, , в крайнем случае что-то недалеко от этих двух значений, при условии, что они сами недалеко друг от друга" (это, собственно, и определяет требование малости расстояния между соседними точками). Складывая эти площади, можно рассчитывать на то, что при большом числе точек разбиения ответ будет близок к числу, которое и следует принять за определение "площади криволинейной трапеции".

Определить - не фунт изюма, а считать-то как?

В стандартных математических курсах в этот момент начинается не очень понятная суета. Определив "конечные интегральные суммы" так, как (не слишком аккуратно) описано выше, и перейдя к пределу (ой, тут ещё хуже, поскольку интегральная сумма формально зависит от переменного количества аргументов, - координат точек разбиения, а такие пределы мы ещё не проходили), можно доказывать какие-то теоремы. Однако оказывается совершенно непонятно, как же эти интегралы считать.

В этом месте, наверное, впервые в истории математики сработала концепция Гротендика (пускай и в самой простой форме), "Raise the sea level!". Чтобы решить проблему (solve the problem), буквально, "растворить проблему", надо всего-навсего поднять уровень моря (raise the sea level): поднявшаяся вода сама собой растворит (solves) проблему. Конечно, если у вас есть cojones Гротендика.

У Лейбница, похоже, были. Задача была вычислить число, которое сегодня обозначается . Лейбниц заменил задачу о нахождении одного числа задачей о нахождении функции. Заставим одну из границ интервала быть "переменной", т.е., рассмотрим новую функцию новой переменной , определённую формулой . Казалось бы, глупость полная, - нам и одно-то число (значение функции никак не вычислить, а тут планку повышают, мол, решите её при всех мыслимых значениях ). И тут оказывается (!!!), что функцию можно описать гораздо проще, чем муторные интегральные суммы и их сомнительный предел. Оказывается, что функция обладает двумя свойствами, полностью и однозначно её определяющими: (начальное условие, очевидное, если мы рассматриваем площадь трапеции с нулевым основанием), и дифференциальным уравнением . Это уравнение следует непосредственно из определения интегральных сумм: если мы добавим ещё одну полоску к нашей сумме, посмотрим на приращение суммы и поделим его на ширину полоски, то ответ будет "примерная высота полоски", т.е., как раз . Можно, я не буду занудствовать и писать очевидные формулы?

Мораль: хотите считать площади? включите вашу задачу в более общую, подберите подходящую функцию, а потом поищите её в списке известных производных. Если нашли - ответ известен сразу для всего семейства фигур.

Следующий вопрос, - а как искать-то?

Практические рекомендации

В стародавние времена подходящих слов не было, но сегодня найдётся всё. На прошлом уроке мы выяснили, что считать производные - совершенно механическая задача, реально не требующая вычисления никаких пределов. Есть ограниченный список процедур, как более сложные функции строить из более простых, и оказывается, что каждая такая процедура позволяет выразить производную сложной функции через производные простых. Значит, теоретически можно "по объявлениям в маршрутках" набрать побольше недалёких, но исполнительных таджиков, и заставить их день и ночь считать производные всевозможных функций, занося ответы в громадную таблицу. Всё, что после этого надо будет сделать, - найти интересующую вас функцию в списке вычисленных заранее кем-то производных. Сегодня, впрочем, таджиков можно заменить компьютером, умеющим проделывать символьные вычисления. Он же и "нагуглит" вам ответ, если таблица окажется слишком большой.

На практике, конечно, совершенно не обязательно включать в таблицу "все функции". Во-первых, спасает линейность: если вас интересует, чьей производной является сумма двух функций , то достаточно решить задачу для каждой функции по отдельности. То же разумей и в отношении функций и т.д. С произведением немного похуже: задача нахождения антипроизводной (мне это слово нравится больше, чем традиционная "первообразная") от произведения не сводится к вычислению антипроизводной сомножителей. Вместо этого мы можем посмотреть на формулу Лейбница под таким углом: антипроизводная левой части известна всегда. Значит, если известна антипроизводная одного из произведений справа, то известна антипроизводная и другого. Иными словами, антидифференцирование одного произведения сводится к антидифференцированию другого. Никакой гарантии, что после такого сведения задача станет проще, нет и быть не может, но иногда такой трюк работает и называется "интегрированием по частям". Соответственным образом можно попытаться "прочитать справа налево" цепное правило для производной композиции. Это называется "заменой переменной" и, как и интегрирование по частям, иногда работает (чаще всего в случае, когда антидифференцировать надо какую-нибудь симметричненькую функцию), но без всякой гарантии.

Короче, в отличие от механической операции дифференцирования, мы наблюдаем довольно печальную картину с интегрированием: механической процедуры антидифференцирования нет, зато огромный простор для составителей экзаменационных задач. Составитель берёт какую-нибудь замысловатую функцию, дифференцирует её, использовав пару раз пару раз правило Лейбница и разок - цепное правило для композиции, получает ответ, а бедный экзаменуемый должен угадать, как и из чего этот ответ был получен. На экзамене помогает знание того, что "интеграл берётся", значит, надо перепробовать известные трюки, - наверняка что-то сработает. В "реальной жизни", однако, попадаются "неберущиеся интегралы". За ними даже не надо далеко ходить.

Интеграл, которого нет

Мы уже помним, что , откуда по (индуктивно примененному) правилу Лейбница . Для производной ответ тоже был получен (обращением предыдущего). В результате для любого рационального числа формула для производной может считаться доказанной (а других степеней у нас пока нет, строго говоря: что за зверь , мы ещё не обсуждали, а там есть подводные камни). Читая предыдущую формулу справа налево и упрощая обозначения, мы видим, что для любой функции вида , есть антипроизводная , производная которой равна в точности . Кроме, разумеется, случая, когда . Ничего не поделаешь, на ноль делить нельзя.

Как это так, возмутится просвещённый читатель? Функция есть, по крайней мере для ненулевых значений икса, и вполне ничего себе выглядит. Если мы напишем значок , то он прекрасно имеет смысл при условии, что границы отрезка одного знака (и "дырка" в нуле, где ведёт себя плохо, не попадает на отрезок). Значит, по крайней мере при всех положительных значениях прекрасно определена функция . В чём же дело?

А дело в том, что решения дифференциального уравнения не существует в классе рациональных функций. Более того, можно, потрудившись, доказать, что его нет и среди алгебраических функций. Однако ж какое-то "решение", несомненно, есть, - см. "интеграл с переменным верхним пределом", который несомненно задаёт однозначно определённую функцию. Что же делать? Ответ: примерно то же, что мы делали с числами, когда нам не хватало чисел, чтобы решить уравнения, у которых "обязаны быть решения". Надо расширять запас функций, выводя их свойства не из явных формул, а из уравнений, которые эти функции определяют.


Но это уже тема следующего урока, а пока всем чмоки. Тем, кто дочитал досюда - в виде бонуса забавный текст Миши Каца с коллегами (по-английски), обсуждающий в непривычно беллетризованном формате проблемы с "бескончно-малостью", от Лейбница и епископа Беркли до Сахарона Шелаха.

Comments

[janus_n]

Спасибо за лекции. Когда-то учил, но многое забыл. Полезно вспомнить. :)

[xaxam]

Ещё полезней понять, наконец, что-то из оставшегося непонятым тогда ;-)