xaxam | Байки старого педагога

Дифференциал и производная

Напоминания и разминка

Читатель помнит, надеюсь, что (числовая) функция - это способ по заданному иксу однозначно вычислить значение $f(x)$ , обычно выполняя какие-то заранее оговоренные операции. Нет никаких причин ограничиваться функциями только одного аргумента: объём бочки зависит не только от её высоты, но и от диаметра, состояние банковского счёта через год - не только от ставки процента, но и от начального вклада. Да чего там далеко ходить: наши арифметические операции сами по себе - уже функции двух аргументов, $Pl(x,y)=x+y,\ Mul(x,y)=xy,\ Div(x,y)=x/y$ . Если аргументов мало и они по смыслу сильно разные, для обозначения тех мест, куда надо подставлять их значения, обычно пользуются буквами $x,y,z,u,v,\dots$ (исключительно по традиции, восходящей к началу Нового времени). Если же переменных много, и они в каком-то смысле однородны, то часто пользуются индексами и обзывают переменные составными именами $x_1,x_2,\dots, x_n$ , в понимании того, что $n$ заранее известное число. Например, если $n=10$ и $x_1,\dots,x_{10}$ - температура тела у десяти больных, то средняя температура по больнице - функция десяти аргументов, $T(x_1,\dots,x_{10})=\tfrac1{10}(x_1+\dots+x_{10})$ . Для скорописи мы будем сокращать строчку имен переменных до одной буквы, примерно так: $x=(x_1,\dots,x_n)$ ⁽¹⁾.

Психологическая трудность, возникающая при общении с функциями нескольких переменных, - трудность или невозможность рисовать графики. Скажем, график функции двух переменных $z=f(x,y)$ - это поверхность в трёхмерном пространстве: если считать $(x,y)$ координатами точки на горизонтальной плоскости, то чтобы "нарисовать" её график, надо отложить "вверх" от этой точки значение функции на этой паре аргументов. Полученные таким образом точки лягут на некоторую поверхность в трёхмерном пространстве, и чтобы её вообразить или нарисовать, надо обладать или навыками иллюстратора, или хорошим пространственным воображением. Попробуйте для примера представить себе графики функций "сложение" и "умножение" (см. выше). К счастью, для иллюстрации большинства идей воображать себе эти графики не обязательно.

Линейные и аффинные функции

Разнообразию функций несть числа, а уж тем более если мы разрешаем функции нескольких аргументов. Однако ж в прошлый раз мы описали очень милый класс функций (одного переменного), с которым всегда можно обо всём договориться. Это аффинные фунцкии вида $f(x)=ax+b$ , из которых особенно хороши линейные, соответствующие значению $b=0$ . Линейная функция (одного переменного) описывается единственным числом, - своим наклоном $a$ , да так, что композиция линейных функций соответствует перемножению наклонов.

Аналогичным образом мы введём (считайте пока, что волевым актом) аффинные и линейные функции нескольких переменных, как функции, представляемые выражениями $f(x)=a_0+a_1 x_1+\cdots+a_n x_n$ , где $a_0,a_1,\dots,a_n$ - числовые коэффициенты ("параметры") в аффинном случае, и отсутствующим "свободным членом" $a_0=0$ в линейном. Очевидно, что аффинная (линейная) функция нескольких переменных будет аффинной (соотв., линейной) по каждой переменной в отдельности.⁽²⁾. Обратное, кстати, неверно: функция "произведение" линейна по каждому из своих двух аргументов, но не является линейной функцией двух аргументов. Осторожней с терминологией!

Основная причина, по которой аффинные/линейные функции столь любимы всеми, предельно проста. По большому счёту, это единственный класс функций, для которого любой вопрос имеет ответ при помощи четырёх действий арифметики. Этот ответ может быть запутанным, сложным, громоздким, но он всегда (теоретически) может быть выписан совершенно явно.

Классический пример, - система из двух "линейных" (на самом деле аффинных) уравнений с двумя неизвестными (какой это класс? седьмой? восьмой?) Есть шесть чисел-"параметров", пускай они будут называться $a,b,c,d,e,f,$ две переменные обзовём $x,y$ и рассмотрим систему из двух уравнений $ax+by=e, \ cx+dy=f$ . Решать такую систему было бы сплошным удовольствием: из первого уравнения выражаем игрек через икс, подставляем во второе уравнение, которое становится уравнением с одной неизвестной, и решаем его по стандартной формуле. Просто было на бумаге, а в натуре есть овраги и всевозможные исключения.

Для начала для того, чтобы "выразить игрек через икс" из первого уравнения, коэффициент $b$ перед игреком должен быть ненулевым, иначе ничего не выразится. Ну ничего, в таком случае можно поменять игрек и икс местами и выразить икс через игрек... а что делать, если и $a=0$ ? Ой вей, тогда у системы нет решений? Нет, почему же, если при этом ещё и $e=0$ , то первое уравнение приобретает феерический, но законный вид $0x+0y=0$ , и ему удовлетворяют все значения, значит, про это уравнение можно просто забыть. Но даже если выразить игрек через икс удалось, это только полбеды. После подстановки во второе уравнение нас снова поджидают неприятности: хорошо, если коэффициент перед иксом не обнулился, и формула работает. А если он ноль? Уравнение $0x=g$ тоже легитмно, и ему либо удовлетворяют все иксы, либо ни один. Разумеется, все эти перипетии можно иллюстрировать графически: каждое аффинное уравнение по отдельности определяет либо пустое множество, либо всю плоскость, либо прямую на плоскости. Соответственно, два уравнения могут вместе задавать два крайних случая (пустое множество или всю плоскость), либо пересечение двух прямых. Это пересечение, в свою очередь, выглядит по-разному, если прямые параллельны (и различны), совпадают между собой или пересекаются в единственной точке. Но в любом случае ответ есть, и если довести разбор всех случаев до конца, то выясняется, что единственный "интересный" вариант, когда пересечение сводится к одной точке, наблюдается тогда и только тогда, когда выполнено загадочное соотношение $ad-bc\ne 0$ .

Из разбора этого примера можно сделать два противоположных вывода. Первый, - даже в самой простой ситуации линейных уравнений сам чёрт ногу сломит, ну её в баню, эту кухню. Второй - занятная штука вырисовывается, хорошо бы разобраться с этой геометрией. Что это за выражение загадочное? Надо только придумать правильный язык, чтоб не путаться в этих дурацких суммах с многоточиями. Ну, и с делением на ноль надо разобраться: в сущности, именно из-за этого деления на ноль и возникает всё нагромождение исключительных случаев. Да и исключительные все они немного по-разному. Не-е-ет, это ж-ж-ж неспроста, надо разобраться.

Не волнуйтесь, дорогие любопытствующие читатели! Более-менее разобрались. Соответствующая наука называется ~~"линейка"~~ Линейная Алгебра и Геометрия, и она - одна из наиболее завершённых, красивых и полезных областей Математики. Физики обмирают об неё из-за того, что в ней есть Принцип Суперпозиции, а значит, решения разных линейных задач можно искать в виде комбинаций "базовых" решений (волн, частиц, ...). Инженеры любят её, потому что все соответствующие вычисления сегодня вместо них делают компьютеры, и делают довольно надёжно (алгоритмы должны учитывать разницу между "нулём", на который нельзя делить, и "машинным нулём", но пока математическая культура разработчиков численных пакетов с этим позволяет справляться). К сожалению, "линейка" совсем не присутствует в школьной программе, а в институтской сводится к странным манипуляциям с объектами, определения которых немотивированы, формулы (на инженерно-физических специальностях) громоздки, а поучительные картинки почти никогда не рисуются. Я уж не говорю о том, что (рассуждая в духе предыдущего урока) мало кто из прослушавших эти курсы понял, что произведение матриц есть просто композиция соответствующих линейных операторов (кто знал - молодец, кто не знает, - для дальнейшего изложения данное обстоятельство не столь существенно, чтобы на нём задерживаться)⁽³⁾.

Линеаризация

После такого панегирика становится даже жалко, что не все функции линейны. Как было бы славно жить в таком мире! К счастью, оказывается (и в этом состоит одно из чудес математики), что большинство интересных для человечества функций мало отличается от линейных, если смотреть на них через увеличительное стекло⁽⁴⁾.

Вернёмся к функциям одного переменного и возьмём какую-нибудь точку $(a,b),\ b=f(a)$ , на графике функции $y=f(x)$ . Чтоб удобнее было работать, проще всего подвинуть плоскость $(x,y)$ и перенести начало координат в рассматриваемую точку. Функция, конечно, при этом изменится (и формула для неё тоже), но не сильно: новая функция будет задаваться формулой $g(x)=f(x+a)-b, \ b=f(a)$ . Для нас существенно то, что новая функция (давайте вернёмся к её привычному старому имени, чтоб не плодить обозначения без нужды)⁽⁵⁾ будет удовлетворять условию $f(0)=0$ . Что будет с такой функцией, если посмотреть на её график под увеличительным стеклом?

Сначала разберёмся, что такое увеличительное стекло. Рассмотрим на числовой оси малюсенький отрезок, скажем, от нуля до одной сотой. Если нарисовать его на обычной бумаге, где клетка равна одному сантиметру, то длина отрезка будет равна одной десятой миллиметра. А теперь давайте увеличим эту одномерную картинку в 10 раз. Отрезочек станет немного длиннее, 1 мм, сторона клетка станет размером в 10 см, и на листе бумаги уместится хорошо если две таких клетки. Но если мы наложим нашу увеличенную картинку на исходную клетчатую бумагу (введём новую переменную), то увидим, что конец отрезка оказался в точке с координатой 0.1, а не 0.01.

С математической точки зрения произошла замена переменной: вместо старого икса, $x$ , мы взяли новую переменную, $X$ , связанную со старой соотношением $x=0.1X$ (старый маленький икс заменили на новый большой Икс). Разумеется, коэффициент увеличения 10 можно заменить на любой больший, если в этом будет нужда.

А как увеличивать картинку на плоскости? Ответ (очевидный): по каждой координате отдельно. Вместо пары $(x,y)$ , $(X,Y)$ , где $x=aX,\ y=aY$ , а $a$ - маленькое положительное число. Во что превратится график функции $y=f(x)$ после увеличения? В график какой-то новой функции, $Y=F(X)$ . Новая функция $F$ связана со старой очень простой формулой: $aY=f(aX)$ , т.е., $F(X)=\tfrac1af(aX)$ . Как будет выглядеть график функции $F$ , если выбрать $a$ >0 малюсеньким?

Давайте посмотрим, что получится из какого-нибудь многочлена, скажем, $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots$ (решивши, что это многочлен, я сознался, что многоточие тут только от лени)⁽¹⁾. Поскольку мы предположили ("без ограничения общности")⁽⁵⁾, что $f(0)=0$ , то значит, $b_0=0$ . Какой будет формула для $F(X)$ ? Подставляя, получим ответ: $F(X)=b_1 X+b_2aX^2+b_3a^2X^3+\cdots$ , имыми словами, первый коэффициент не изменится, второй умножится на малое $a$ , третий - на ещё меньшее $a^2$ и т.д. Совершенно очевидно™, что при достаточно маленьком $a$ даже самые свирепые коэффициенты при высоких степенях Икса станут маленькими, а сама Функция - неотличимой от линейной функции $Y=b_1X$ .

На самом деле, конечно, трюк с увеличительным стеклом - лишь иллюстрация диалога с оракулом из предыдущего урока. Если оракул утверждает, что некая функция $f(x)=ax$ линейна, то вопрошающий его Эдип за один вопрос может узнать наклон этой линейной функции, поделив $f(x)$ на $x$ в произвольной ненулевой точке $x$ . Если оракул не врёт про линейность, то то же самое частное должно получаться при всех иксах.

Однако ж часто бывает, что оракул врёт, но "по мелочам": отношение $f(x)/x$ , хоть и зависит от икса, тем не менее при малых иксах оказывается "почти постоянным", говоря формальнее, "имеет предел"⁽⁶⁾, когда $x$ стремится к нулю. Те функции, для которых такой предел существует, называются дифференцируемыми в точке $x=0$ , а само значение предела - наклоном функции в этой точке, а по-учёному - производной.

Ещё раз то же самое иными словами. Мы взяли готовую формулу, которая даёт наклон для линейных функций, и применили её к нелинейной. Вместо единственного значения для линейных функций формула дала нам разные значения для разных иксов. Если же при этом при малых иксах "почти одинаковы", - такая функция называется дифференцируемой. По построению, дифференцируемая функция вблизи нуля хорошо приближается линейной.

Если же мы вернёмся к исходной постановке и не будем "предполагать без ограничения общности", то окажется, что функция дифференцируема в произвольной точке, если она хорошо приближается некоторой аффинной функцией вблизи этой точки⁽⁷⁾. В частности, если нас интересует точка $x=c$ , то искомая аффинная функция $\ell(x)$ , приближающая нелинейную функцию $f(x)$ , имеет вид $\ell(x)=a(x-c)+b$ , где $b=f(c)$ , а $a$ - предельное значение отношения $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ , когда икс стремится к $c$ .

Все основные теоремы "матана" теперь превращаются в вопросы о том, когда и при каких условиях свойства приближающей аффинной функции переносятся на приближаемую нелинейную. Все они доказываются примерно по одной и той же схеме: если искомое свойство можно выразить в виде (строгих) неравенств, то такие неравенства сохраняются, если их правая и левая части известны не точно, а лишь приближённо. Надо только позаботиться, чтобы относительная⁽⁷⁾ ошибка приближений была мала по сравнению с абсолютной разностью между правой и левой частями.

Простейший пример: монотонность функции вблизи данной точки. С алгебраической точки зрения, нас интересуют знаки $f(x)-f(c)$ и $x-c$ при значениях икса, близких к $c$ . Если они одинаковы, то функция возрастает, если противоположны, то убывает, если ***** (допишите сами), то у функции есть локальный экстремум в данной точке (какой?). Согласно вышесказанному, отношение $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ близко к значению своего предела для дифференцируемых функций, равного производной. Если производная положительна, то и все близкие к ней значения этого отношения тоже положительны. Если отрицательна - mutatis mutandis. Если производная равна нулю - ничего сказать нельзя.

Хочется немедленно умозаключить, что рядом с точкой, где производная положительна, функция возрастает и mutatis mutandis, в частности, в точке экстремума единственная возможность для производной - обнулиться.

Это утверждение "почти правильно", или скорее "идеологически правильно": надо оговорить кое-какие детали мелким текстом (имея в виду, что слово "функция" сегодня не синонимично формуле)⁽⁷⁾. Иными словами, если аффинное приближение даёт "решительный ответ" на вопрос о локальном поведении функции, - он верен и для исходной функции. Если же ответ "нерешительный", надо разбираться в деталях.

А если переменных несколько?

Давайте снова смотреть на "график функции" через увеличительное стекло, и начнём с многочленов. Напомним, что многочлен от нескольких переменных - это сумма одночленов (логично, да?), а каждый одночлен - в свою очередь, произведение нескольких переменных из списка $x_1,\dots,x_n$ (повторения разрешаются, например, $x_1^3x_4x_5^2$ ) с ненулевыми численными коэффициентами (а зачем писать нулевые коэффициенты?). Для каждого монома определена его степень, - общее количество перемножаемых переменных (3+1+1+2=7 в предыдущем примере). Разумеется, разные одночлены имеют разные степени, от нулевой до некоторой максимальной (мы пока имеем дело только с конечными суммами). Многочлен называется однородным, если все одночлены, из котороых он составлен, имеют одну и ту же степень. Однородный многочлен нулевой степени - константа, однороный многочлен первой степени - линейная функция вида $b_1 x_1+\cdots+b_n x_n$ , более высокие степени выписывать труднее, но принцип должен быть ясен.

Что произойдёт, если мы возьмём график многочлена $y=f(x_1,\dots,x_n)$ и посмотрим на него под увеличительным стеклом, предварительно перенеся интересующую нас точку на графике в начало координат? Те же аргументы, что и раньше, дадут нам новую функцию новых ("больших") переменных $Y=\tfrac1a F(a X_1,\dots, aX_n)$ , где, как и раньше, $a$ - очень маленькое положительное число. Каждый одночлен степени $d$ в результате сначала умножится на $a^d$ , а потом поделится на $a$ . Одночленов нулевой степени у нас нет, поскольку $f(0,\dots,0)=0$ , (напомним: мы предусмотрительно перенесли начало системы координат в интересующую нас точку). Члены первой степени ничего не почувствуют, а члены степени 2 и выше умножатся на малое, совсем малое и уж совсем малюсенькое числа соответственно. В результате мы получим функцию $F$ , почти не отличающуюся от линейной фунцкии $L(X_1,\dots,X_n)=b_1 X_1+\cdots+b_n X_n$ , где $b_1,\dots,b_n$ - числовые коэффициенты.

Если возвратиться в исходную (не сдвинутую) систему координат, то окажется, что для исходной фунцкии (многочлена) $f(x)$ мы построили линейную фунцкию $\ell(x)$ таким образом, что $f(x)\approx f(c)+\ell(x-c)$ , где $x=(x_1,\dots,x_n)$ , $c=(c_1,\dots,c_n)$ координаты интересующей нас точки, в которой мы приближаем функцию, $x-c=(x_1-c_1,\dots,x_n-c_n)$ , а знак $\approx$ означает, что ошибка (разность между левой и правой частями) относительно мала. Относительно чего? ну, скажем, относительно наибольшего из выражений $|x_1-c_1|,\dots,|x_n-c_n|$ (на самом деле это неважно: можно брать сумму абсолютных величин этих выражений, корень из суммы квадратов, - ответ не изменится).

Вывод: для хороших функций (многочленов) в окрестности любой точки $c$ можно построить аффинную ("линейную неоднородную") функцию вида $f(c)+\ell(x-c)$ , хорошо приближающую многочлен в этой точке. Разумеется, "линейная часть", $\ell(x)$ называемая дифференциалом функции в точке, зависит и от функции, и от точки.

Определение. Функция нескольких переменных $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $c$ , если она допускает аффинное приближение вида $f(c)+\ell(x-c)$ с ошибкой, малой относительно $|x-c|$ , т.е. такой, что $\frac{f(x)-f(c)-\ell(x-c)}{|x-c|}$ стремится к нулю, когда $x$ "стремится" (приближается достаточно близко) к точке $c$ . Разумеется, функция может быть дифференцируемой в одних точках области определения, и недифференцируемой в других.

А где же производная у функции нескольких переменных? а нет её. Напомним, что производная функции одного переменного, - число $b$ , однозначно задающее линейную функцию одной переменной $\ell(x)=bx$ . Если переменных несколько, то одним числом не обойтись, линейная функция задаётся не одним числом, а строчкой чисел $b=(b_1,\dots,b_n)$ . Эти числа называются частными производными и могут быть получены при помощи "замораживания" всех аргументов, кроме одного⁽²⁾.

Отступление для "технарей": почему полезно различать аффинные и линейные функции

Проницательный читатель уже несомненно обратил внимание на экономию системы обозначений, при которой однобуквенные обозначения $x,c, b$ используются для сокращения соответствующих строчек. На самом деле в этом таится глубочайший сермяжный смысл.

Строчки чисел - объекты, над которыми можно ввести некоторые операции, подозрительно напоминающие привычные арифметические операции с числами. Скажем, сложение-вычитание можно производить "поэлементно" (надеюсь, формулу можно не писать?) Точно так же можно определить умножение строчки $c=(c_1,\dots,c_n)$ на (обычное) число $a$ : $a(c_1,\dots,c_n)=(ac_1,\dots,ac_n)=ac$ ⁽⁸⁾. Объекты, которые можно складывать-вычитать промеж собой и умножать на числа, называются векторами, а множества, составленные из векторов и замкнутые относительно этих операций, называются линейными (реже - векторными) пространствами.

Не следует думать, что список линейных пространств исчерпывается числовыми строчками (разной длины). Стрелочки на плоскости, торчащие из начала координат, - тоже векторы, даже если мы и не нарисовали никакой координатной сетки. Другой пример линейного пространства (гигантского!) - все числовые функции, определённые на некотором общем для всех множестве опредения. Класс этот можно сузить так, чтобы он стал обозримым: например, все многочлены от одной переменной степени не выше 777 тоже образуют линейное пространство. Да и от двух переменных (с тем же ограничением на степень) - тоже. Если есть какое-то абстрактное множество и нам удалось определить на нём операции сложения и умножения на числа ("скаляры"), то мы говорим о том, что на данном множестве мы задали структуру линейного пространства.

Коль скоро у нас есть какое-нибудь линейное пространство L, мы можем рассмотреть функции на нём. Функции нескольких переменных - на самом деле функции на линейном пространстве строчек длины n, но мы теперь можем абстрагироваться от конкретных формул и рассматривать только структуру линейного пространства.

Определение. Числовая функция $\ell$ , определённая на линейном пространстве $L$ , называется линейной, если для любых двух векторов $x,y\in L$ и любого числа $a$ , выполнены соотношения $\ell(x\pm y)=\ell(x)\pm\ell(y)$ и $\ell(ax)=a\ell(x)$ .

Как уже отмечалось, линейная функция одного переменного всегда имеет вид $\ell(x)=bx,\ b=\ell(1)$ . Аналогичным образом коэффициенты линейной функции полностью определяются её значениями, $b_1=\ell(1,0,\dots,0),\ b_n=\ell(0,\dots,0,1)$ (а что в промежутке будет?).

Заметим, что во всяком линейном пространстве всегда есть нулевой вектор, обозначаемый нулём, и всякая линейная функция на нулевом векторе принимает значение, равное числовому нулю. Почему? а потому, что $\ell(x)=\ell(x+0)=\ell(x)+\ell(0)$ при всех иксах, что возможно лишь когда $\ell(0)=0$ . Как же можно не запутаться, где нулевой вектор, а где нулевое число? Ответ: во-первых, знаки операций "плюс" и "минус" могут стоять только перед однотипными объектами (нельзя складывать вектор и число), всегда можно сообразить. А во-вторых, никакой беды всё равно не будет: сложение с нулём никогда ничего не меняет.

Из сказанного становится ясно, почему в поисках правильного "линейного приближения" мы всегда сначала сдвигали исследуемую точку на графике функции в начало координат. В этом (и только в этом) случае выполняется равенство $f(0)=0$ , позволяющее нам рассчитывать на существование именно линейного приближения (если $f(0)\ne 0$ , то ничего хорошего мы бы не получили заведомо). Продолжая неформальную аналогию с увеличительным стеклом, если бы мы не поместили разглядываемую точку точно в перекрестие микроскопа, то после достаточно сильного увеличения она бы просто "убежала" из поля зрения. Кстати, становится понятней, почему именно линейная "часть" многочлена "не замечает" увеличения: выражение $\tfrac1a \ell(ax)$ на самом деле не зависит от разрешающей силы микроскопа $a$ .

Осеменённые новыми идеями, мы можем снова посмотреть на формулу $f(x)=f(c)+\ell(x-c)$ , дающую нам хорошую аппроксимацию для дифференцируемых функций. Теперь, когда мы знаем "бескоординатное" определение линейных функций, хочется сделать вывод, что аргумент $x-c$ должен принадлежать какому-то линейному пространству. Более того, для разных точек c эти пространства даже могут быть "разными"! Что за бред! скажет "технарь" и окажется неправ. Выражение $x-c$ имеет смысл рассматривать, как маленький вектор, "приложенный" к точке $c$ . Тогда его можно будет умножать на числа и складывать с ему подобными, но придётся считать, что пространства векторов, приложенных к разным точкам - разные. Тем не менее и в этом есть сермяжная правда.

Вместо функций двух переменных, определённых "на плоскости", можно рассматривать числовые функции, определённые на сфере (скажем, температуру или давление на поверности Земли). В предположении дифференцируемости мы бы должны были искать приближение в классе "линейных" функций, но какие к чёрту линейные функции на кривой поверхности Земли? Правильный ответ такой. Если смотреть под большим увеличением (в данном случае достаточно смотреть не из космоса) на кусочек кривой Земли, то он будет всё больше и больше напоминать плоскость. Где "живёт" эта плоскость? Нам, чувствующим эту плоскость ногами, нечасто приходится задумываться над этим вопросом. А вот марсианин, посмотрев на это, немедленно скажет, что дифференциал функции "температура" определён на векторах, касательных к земной сфере в данной точке. Касательные плоскости в разных точках - несомненно, разные (а то, что они пересекаются иногда, - аберрация нашего зрения, связанная с трёхмерностью пространства). Размышляя над этими конструкциями, математики открыли класс множеств, называемых "гладкими многообразиями": именно из таких множеств современная физика и космология собирает модели нашего мира.

Мораль

Среди всех возможных функций особенно приятно иметь дело с функциями, которые локально (в окрестности каждой точки своего определения) устроены, как небольшие искажения "линейных" (а точнее, линейных неоднородных) функций, линейная часть которых называется дифференциалом (в данной точке). Для таких функций очень много можно предсказать, глядя на поведение соответствующих "линеаризаций". Линейные функции сравнительно просто описать (в частности, линейная функция одной переменной задаётся одним-единственным числом).

_____________________________________________________________________________

⁽¹⁾Прошу отдельно заметить: хоть в записи и появилось многоточие, оно принципиально отличается от многоточия, использованного на предыдущем уроке при объяснении степенных рядов. Там оно было принципиально, поскольку даже самый занудный лектор не в состоянии выписать весь бесконечный ряд. В случае с символикой для многих переменных только лень заставляет меня пользоваться многоточием вместо того, чтобы честно выписать все десять имён ~~Аллаха~~ переменной "икс с индексом".

⁽²⁾По хорошему, надо уточнить, что это значит. Из функции двух переменных $f(x,y)$ можно многими способами изготовить функцию одной переменной. Например, можно выбрать ("заморозить") какое-нибудь конкретное значение переменной $y$ , скажем, $y=b$ , и подставить его в формулу. Полученная формула $f(x,b)$ будет содержать место только для одной переменной (икса), и тем самым окажется "функцией одного переменного" в нашей терминологии. При этом значение $b$ оказывается "параметром", от которого зависит наша новая функция, и её свойства при разных $b$ будут, вообще говоря, разными. Но если какое-то свойство сохраняется при всех осмысленных значениях $b$ , то можно говорить о "свойстве функции f по переменной икс", как в примере с аффинностью/линейностью. Разумеется, икс и игрек можно менять ролями, и ясно, как обобщить такую процедуру "превращения аргумента в параметр" для случая более чем двух переменных.

Кстати, обратный процесс тоже весьма полезен: если у нас есть функция, в записи которой участвуют параметры, то можно объявить полную амнистию и считать параметры новыми независимыми переменными, уравняв их в правах с аргументами-"старожилами". Плюс такого шага, - вместо "функции с параметром", которая суть бесконечное семейство фунцкий, соответствующих разным значениям параметра, мы получаем одну-единственную функцию (правда, от бо́льшего числа переменных, что усложняет задачу).

⁽³⁾Тем не менее хотелось бы отметить в этом месте, что линейный оператор в одномерном пространстве - это матрица размера один на один, состоящая из единственного элемента. Произведение таких миниматриц совпадает с обычным числовым произведением, что делает менее удивительным коммутативность группы линейных преобразований прямой в себя ;-)

⁽⁴⁾К сожалению, почти все функции, которые мы привыкли видеть в виде графиков - исключения, - графики биржевых акций, валютных курсов, температуры от времени и т.д. (так или иначе связанные с броуновским движением и случайными процессами). Оно и понятно, - если есть хорошая формула, зачем рисовать график? а если график рисуют, скорее всего хорошей формулы нет. Кстати, возможно, именно с тем, что дифференцировать можно только те функции, которые "в реальной жизни" почти не встречаются, и связано ощущение бессмысленности "матана", возникающее у школьников-студентов.

⁽⁵⁾Авторы учебников и учителя-лекторы очень часто недооценивают преимущества фразы "Без ограничения общности можно предположить, что...". Между тем, это даёт возможность очень существенно иной раз упростить себе жизнь, выбрав какие-то несущественные параметры так, как хочется. Например, если надо решить аналитическими методами какую-нибудь геометрическую задачу на плоскости, то очень многое зависит от того, как выбрана система координат. Например, если анализируемая конфигурация включает в себя какую-нибудь окружность и какую-нибудь прямую, то "без ограничения общности" можно предположить, что начало координат находится в центре окружности, радиус окружности равен единице, а прямая - горизонтальна. Ясно же, насколько упростятся все вычисления по сравнению с вычислениями в исходной системе координат! Конечно, не все вещи "можно препдположить без ограничения общности", - иногда предварительное препарирование задачи бывает довольно сложным и выливается в отдельную лемму.

⁽⁶⁾В этом месте традиция требует развернуть артподготовку на несколько уроков, называемую "теория пределов". Мне кажется, что для простого человека "с улицы" в этом нет необходимости: you know it when you see it, и утверждение о том, что некая функция имеет предел, когда икс стремится к нулю, интуитивно понятно (не всегда понятно, как увидеть это из формулы, дак на то "матан" и надобен). Такое повышенное внимание к понятию предела, кажется, появилось тогда, когда философствующие математики (Ньютон и Лейбниц) рассуждали о том, что такое 0/0 и какова природа этого выражения. Потом пришёл Коши и объяснил, что числитель и знаменатель этой аццкой дроби не числа, а функции, зависящие от "спрятанного" аргумента, и в зависимости от этих функций аццкой дроби надо приписывать разные значения (или вообще никакого). Мы сразу начали с функций...

⁽⁷⁾Полезно задуматься над тем, что такое вообще приближение, и в частности, "приближение в точке". Как водится, для упрощения формул расположимся с удобством в начале координат на прямой иксов. Пусть у нас даны две функции, $f(x)$ и $g(x)$ . Что значит, что они близки рядом с нулём? Ещё раз упростим вопрос, предположив без ограничения общности, что $g(x)=0$ (что для этого нужно сделать? рассмотреть "ошибку" $f(x)-g(x)$ , которую надо сделать малой). Что означает, что функция $f(x)$ мала рядом с точкой $x=0$ ?

Наивная точка зрения - что все значения функции рядом с началом координат малы, скажем, меньше одной сотой. Увы, одна сотая мала, только если сравнивать её с единицей. А если сравнивать с одной тысячной (а чем она хуже?), - совсем не мала. Ну, и разумеется, малое число легко становится большим под увеличительным стеклом, которым мы пользовались и ещё попользуемся. Значит, надо что-то другое, более точное. Как минимум, надо требовать, чтобы $f(0)=0$ . Хватает ли этого для того, чтобы считать функцию $f$ малой? формалист скажет, что конечно нет, - возьмём "большую" функцию и изменим значение функции в одной-единственной точке $x=0$ . Таким образом мы удовлетворим требование, но при остальных иксах функция будет "большая". У "классициста", у которого функцию надо всё же задавать формулой, такие дешёвые понты не канают, будет своё предложение после некоторого размышления. Он скажет, что функция "мала вблизи нуля", если её предел равен нулю. И в самом деле, функция $f(x)=x$ вблизи нуля действительно станет меньше чего угодно, если мы будем её рассматривать на достаточно малом интервале вокруг нуля.

Что, консенсус? Как бы не так. Приходят физик и инженер, смотрят на исходный вопрос (про две функции, исследуемую и её приближение), и говорят, - па-а-а-прашу! Ваше предположение "без ограничения общности $g(x)\equiv0$ " общность очень даже ограничивает. Приближение хорошее, если ошибка мала по отношению к измеряемой величине (или хотя бы её приближению). Т.е., малость должна быть не абсолютной, а относительной. А так получится, что функция $f(x)=2x$ "хорошо приближается" функцией $g(x)=-2x$ , а это уж ни в какие ворота не лезет, хоть кого спросите.

Придётся вернуться к нашим баранам: есть нелинейная (и неизвестная заранее) приближаемая функция $f(x)$ , есть приближающая её аффинная функция $\ell(x)=ax+b,\ b=f(0)=0$ . Что значит "приближающая"? Ошибка приближения $f(x)-\ell(x)$ по построению обращается в ноль в нуле. Относительная ошибка, если считать её в процентах к приближаемой функции, будет $\tfrac{f(x)-ax}{ax}$ , но заранее знать, будет ли $a=0$ или нет, - нельзя (для каких-то функций будет, для каких-то - нет). Так что должно быть мало? Соломоново решение состоит в том, чтобы забить на $a$ и потребовать, чтобы к нулю стремилось отношение $\frac{f(x)-\ell(x)}x$ , а там уж как повезёт. Если получится красивая теория, - значит, правильное определение угадано, шампанского первому угадавшему, строим здание математики дальше. Но если вдруг что-то пойдёт не так, - на всякий случай данную развилку стоит запомнить, чтобы вернуться, если что-нибудь пойдёт не так.

⁽⁸⁾Но торопиться не надо. Скажем, можно было бы попытаться определить произведение строчек так же поэлементно, но ничего хорошего из этого не выйдет: пропадёт дистрибутивное свойство $a(b+c)=ab+ac$ , без которого очень скверно. Умножение получается определить не для строчек, а для квадратных таблиц составленных из чисел. Такие таблицы называются матрицы, может, они ещё и появятся на следующих уроках.