Вариации на тему Луи XV

Обоснованный оптимизм

Как обещал, расскажу про вариационные задачи на бесконечном интервале.

Сначала о том, что такое вообще вариационные задачи. Это в сущности те же "школьные" задачи на поиск экстремума (скажем, максимума) функции. Разница в том, что в школе рассматриваются функции одной переменной, заданные явными формулами, и рецепт стандартный. Надо найти точки, в которых производная функции обращается в ноль, и перебрать их все. Максимум (равно как и минимум) затерялся где-то среди этих точек. Потом студентов учат искать максимумы функций нескольких переменных. Но число переменных остаётся конечным.

Вместе с тем есть естественный класс задач, где ищется не точка, а кривая. Простейший пример: кратчайшая кривая, соединяющая две данные точки на плоскости — прямая. Но представим себе, что плоскость не плоская и одинаково гладкая, а ландшафт: часть его — ровное поле, часть — высокая трава, часть — кусты, а часть — вообще непролазная чаща. Скорость передвижения по разным ландшафтам разная. Как проложить самый быстрый путь между двумя точками? Он уже будет не прямой линией, "трудные" участки быстрее обойти, чем через них продираться.

Другой пример. Берём гибкую тяжёлую цепь и поднимаем её за два конца. Она провиснет, минимизируя свою потенциальную энергию. Какая будет форма провисшей цепочки? Ответ: цепная линия " ;-). Третий пример: ребёнок на детской площадке съезжает вниз по жёлобу и торопится. Какой профиль должен быть у жёлоба, чтобы съехать с данной высоты за кратчайшее время? (Ответ: это точно будет не прямая доска, если только это не горка из вашего советского детства).

Всё это называется "вариационные задачи". Рецепт их решения, в сущности, есть то же вычисление производной. Предположим, мы нашли нужную кривую. Это значит, что любое её малое шевеление не может улучшить значение функции. Нетрудно сообразить, что в "линейном приближении" эффект должен быть нулевой (ибо если можно ухудшить, то шевеление "в противоположную сторону" её улучшит). А это и означает, что некоторый аналог производной должен обратиться в ноль.

Задачу определить, что это за "бесконечномерная производная", решили ещё при царе Горохе: Эйлер (и потом Лагранж) выписали явные дифференциальные уравнения, определяющие форму оптимальной кривой. Эти уравнения, как оказалось, имеют второй порядок: чтобы однозначно задать решения, надо указать не одно, а два значения. Например, начальное положение и начальную скорость, если мы говорим о кривых, описывающих движение. Или начальную и конечную точки, как в разобранных примерах. ( Так в чём же проблема с бесконечными интервалами? )