Уравнение с запаздыванием: не только враг, но и друг

Как работает карантин

Предположим, "нулевой" носитель инфекции ходит с ней без симптомов 10 дней, на одиннадцатый день он заболевает и его изолируют. Предположим, что каждый день он в среднем заражает одного человека. В сумме это даёт для пресловутой константы R₀ сумасшедшее значение 10, которое означает, что за месяц один человек заразит 1000, а за два месяца - миллион.

Предположим теперь, что вводится "идеальный" карантин по следующему правилу: как только "нулевого" больного взяли, допросили с пристрастием, и вычислили всех тех 10, которые были с ним в контакте за эти дни, их тоже изолируют*, после чего они перестают заражать других. Тот, кто был первым в списке, разносил заразу уже не 10, а только 9 дней, 2-й - 8, и т.д., вплоть до последнего, который не успел заразить никого. Тем самым общее число заражённых второго поколения оказалось не 100, а 50. Снижение вдвое. На следующем шаге итерации получим дополнительное уменьшение: первый заразившийся во "втором поколении" успеет заразить 8 человек, ещё двое - по 7, ещё трое - по 6 и т.д. Сложив всё, мы получим гораздо меньше, чем 500 новых случаев, которые случились бы без карантина. В пределе (а точнее, в десятом поколении) мы будем иметь ситуацию, при которой все носители со "стажем" больше одного дня будут сидеть в карантине, и "эффективная" величина R₀ (рассчитаная с учётом числа "поколений") упадёт до порогового значения единица. Мне лень писать формальное доказательство, но вот прямое следствие из приведённых рассуждений.

Теорема**. Если в рамках данной модели каждый инфицированный успевает за один день заразить меньше одного человека, то одними лишь карантинными мерами эпидемия давится.

Отметим, что этот параметр - вовсе не тот R₀, который есть общее число заражаемых одним инфицированным, а R₀ делённый на длину инкубационного периода. Time is money life! Тот случай, когда проблема (больной долго распространяет заразу, а мы это не контролируем) оборачивается на пользу.

В конкретном случае воронавыруси нам писали про R₀ в интервале от 1 до 4, а инкубационный период - 5-10 дней. Путём деления получаем число, довольно уверенно меньшее единицы.

Срок подавления эпидемии, конечно, зависит от того, сколько изначально инфицированных было в тот момент, когда ввели политику карантина.

Интересно было бы соответствующую модель написать для интегродифференциального уравнения с запаздыванием. Впрочем, всё настолько просто, что наверняка кто-то этот велосипед уже изобрёл.
_________________________________________________________________________

*На практике, конечно, даже допросив первого пациента, мы не знаем доподлинно тех десятерых, которых он мог заразить, но знаем тех 10, кто имел каждый день возможность подцепить заразу с вероятностью 10% в первый день, десятку "второго дня" и т.д. Посадив их всех на десятидневный карантин, с точки зрения распространения заразы мы сводим задачу к предыдущей, но за счёт гораздо большего роста числа людей на карантине. А что делать...

Наличие тестов позволяет сильно уменьшить число людей, сидящих в карантине, но не статистику распространения заразы, если только мы не отслеживаем, как корейцы, "систематические" социальные сети с поголовным тестированием и не вылавливаем инфицированных на несколько дней раньше, чем мы бы их засекли по контактам с заболевшими. Зато это крайне важно, чтоб не держать попусту в карантине медиков, полицейских, членов Кнессета и прочих срочно необходимых людей.

**Желающие да усмотрят в этом задачу про мудрецов с грязными лицами, сидящих в электричке. Аналогия, впрочем, поверхностная ;-)

Upd. И всё равно картинка, которую давно хотелось увидеть (всё сдвинуто куда надо и в правильной шкале), требует дополнительных объяснений (утащил у vba_).