xaxam | Конец - делу венец (Reply)

Продолжаем делить на "ноль"

Всё не отпускает сюжет, - не закрывается гештальт. Вот проницательный комментатор заметил, что "алгебраическая" математика собирает гораздо больше лайков, чем геометрия. С одной стороны, понятно, - рассказывать геометрический сюжет без картинок, - это как учить программированию без компьютера. Но всё же попробую поставить эксперимент и проверить, в самом ли деле алгебра кроет геометрию. Обещаю на этом отпустить девочку и напрыгнуть на кого-нибудь ещё. Ну, и пожалуй, давайте предположим, что за время пути дочурка смогла подрасти и уже учится классе в 9-м, что-то уже слышала про функции и их исследование. Маэстро, урежьте туш!

- Опять на ноль делить? Пап, отстань.
- Нет, не совсем на ноль, зато в самом делить будем, а не притворяться, что делим, как в геометрических задачах.
- Ну так нельзя же?
- Нельзя.
- А что можно?
- А давай посмотрим. Что такое функция 1/x, ты знаешь?
- Ну, это гипербола такая. Мы на уроке график рисовали: она ещё из двух ветвей состоит, и стремится куда-то. Я слегка запуталась, потому что училка так и не объяснила, что значит, что функция "стремится". Это я вот могу стремиться свалить на танцульки побыстрее, но я же человек, а функция - она же бездушная?
- Пока неважно, существенно, что ты себе представляешь, как выглядит график гиперболы, для простоты для положительных иксов. А график функции x+(1/x) ты себе представляешь?
- Ну, случайно. Нам его в прошлый раз задавали на дом построить.
- А если я напишу тебе произвольную формулу, содержащую икс сколько угодно раз, любые числа и все четыре арифметических действия со скобками, чтоб понятно было. Представишь?
- Ты с ума сошёл? конечно, нет.
- А что-нибудь вообще можно сказать про функцию, заданную такой формулой?
- Да тоже нет, конечно!
- А давай подумаем вместе. Начнём с формул, в которых деление не используется. Это опасная операция. А что можно сварганить из иксов, чисел и трёх оставшихся операций?
- Что угодно!
- Не совсем. Я утверждаю, что после раскрытия всех скобок и приведения всех подобных членов получится довольно простое выражение Р(х) = a + bx + cx^2 + ... + (какое-то число)*x^n, где a,b,c и "какое-то число" - какие-то числа, а значком x^n мы обозначаем произведение икса на себя n раз.
- Похоже. Интересно, что в этой формуле число слагаемых не превосходит числа операций умножения, которые мы сделали, а сложения и вычитания - типа бесплатные, делай сколько хошь, разве что какие-то числа изменятся.
- Эти "какие-то числа" называются коэффициентами. Не сломай язычок свой остренький. Зато сама сумма называется просто и понятно: многочлен, он же полином. А отдельные слагаемые в нём - мономы. Греческое наследие, понимаешь.
- Постараюсь, хотя могли бы и попроще слово использовать.
- А почему это так, понимаешь?
- Пап, смешной вопрос. Сумма, произведение и разность двух полиномов после раскрытия скобок снова оказываются полиномом, а степень может возрасти только если мы перемножаем полиномы между собой.
- Давай теперь посмотрим, как будет выглядеть график полинома. Начнём с области определения. Для каких иксов определено значение Р(х)?
- Для всех, конечно.
- А где график будет пересекать ось иксов?
- Там, где Р(х) обращается в ноль.
- Правильно, такие точки называются корнями полинома. Самые интересные точки, между прочим.
- А как их искать?
- Если полином степени один - ответ получается арифметическими операциями из коэффициентов, если он, конечно, есть: полином Р(х) = 1 + (0*х) корней, конечно, не имеет ;-)
- ;-)
- Если степень два, то есть формула, которую ты небось зубрила.
- Да, там какой-то детерминант есть, из которого корень надо извлекать, если извлекается...
- Не детерминант, а дискриминант. Жалко, что вас латыни и греческому не учат, ты бы не так путалась в терминологии. Но в целом правильно: есть формула, и корней может быть 0. 1 или 2.
- А для третьей степени формула есть?
- Есть, но ей лучше не пользоваться.
- Почему?
- Запутаешься. Да ещё придётся, чего доброго, корни из отрицательных чисел извлекать.
- Но это же невозможно!
- А вычитать большое из маленького возможно было? А делить 7 на 3? Давай оставим пока эту тему, а то мы никогда не доберёмся ни до чего.
- А для четвёртой степени? для пятой?
- Для четвёртой даже формулу никто обычно не пишет, просто говорят, что решение уравнения четвертой степени можно свести к решению уравнения третьей степени. А вот для пятой степени даже и это невозможно.
- Урррра! Не надо будет зубрить какой-нибудь очередной ужас!
- Ужас надо не зубрить, а ... мокрыми тряпками гнать куда подальше.
- А что же надо делать?
- А надо понять простой факт: у многочлена степени n не может быть больше, чем n корней.
- А ровно n может?
- Конечно. Более того, под заказ я напишу тебе многочлен с корнями в любых точках. Это проще, чем ты думаешь.
- Ну давай! Хочу корни в точках -3, 0, 2 и 17. Четыре значения, - напиши мне многочлен, который именно в этих точках имеет корни. Сам же говорил - формулы страшенные.
- Лови! Р(х)=(х+3)х(х-2)(х-17). Раскрой скобки и получишь желаемое.
- Уйя! Ты жулик!
- Нет, всё по правилам. Более того, если б я сам раскрыл скобки и предъявил тебе ответ, ты бы полчаса сопела, проверяя, что в самом деле после подстановки вместо икса этих чисел нуль получится. А потом приставала ко мне, как мне удалось ответ угадать.
- А больше, чем n корней может быть?
- Нет. Дело в том, что многочлены, как и целые числа, раскладываются на множители, и почти единственным образом (сообразишь, откуда неединственность берётся?). И очень просто проверить, что если а - корень, Р(а)=0, то многочлен Р делится на линейный множитель (х-а). Если бы корней было больше, чем n, произведение таких линейных множителей имело бы степень больше n, а это противоречит предположению о Р.
- Понятно. Корни есть, их немного, а где они - ищи свищи.
- Совершенно точно. Главное - что НЕ КОРНЕЙ гораздо больше, - почти все числа.
- А что это знание мне даёт?
- А давай теперь поговорим, что будет, если мы разрешим в формуле использовать ещё и деление. Сможешь ли ты описать возможные результаты?
- Ой. Какие-то многоэтажные формулы получаются, с дробными чертами между этажами, ужас-ужас.
- Ну, ужас, но не ужас-ужас. Без одной дробной черты, конечно, не обойтись, но больше нам не понадобится.
- Это ещё почему?
- Давай рассмотрим "простые дроби" P(x)/Q(x) и R(x)/S(x). Формулу для их произведения ты, конечно, напишешь, а если захочешь поделить одну на другую?
- И в самом деле, получится "простая дробь" SP/QR. А как складывать-умножать?
- Не прикидывайся дурочкой. Приведи к общему знаменателю, как с числами, получится (PS+QR)/(QS).
- И сокращать можно?
- Если получится, то отчего ж нет.
- А на ноль делить нельзя?
- Нет.
- Почему?
- Вопросом на вопрос: а что такое ноль?
- Ну... не знаю. Наверное, нулевой полином. А что это такое?
- А я знаю. Выбирай, какое из двух определений тебе больше нравится: (1) нулевой полином - это полином, у которого все коэффициенты нулевые; (2) Нулевой полином - тот, который принимает нулевое значение при любом иксе.
- Это разные определения?
- Если мы говорим о полиномах с рациональными коэффициентами, то одно и то же. А причина - всё то же разложение на множители: рациональных чисел бесконечно много, поэтому ненулевой полином не может во всех точках обращаться в нуль.
- А какая степень у нулевого полинома?
- Увы. Правильный ответ был бы "минус бесконечность", но он не имеет смысла. Давай будем считать, что у нулевого многочлена просто нет степени. Ну, как нет цвета у голоса...
- Окей, давай вернёмся к нашим баранам. Почему на нулевой полином делить нельзя?
- Ну, например, потому, что получившаяся функция не будет определена вообще нигде. Это уж слишком: про функцию совсем без области определения говорить как-то неловко. Но и рассуждение, которое с числами работало, с рациональными функциями тоже дословно проходит.

Но при этом всё совсем не так плохо: мы выяснили, что множество рациональных функций "многочлен делить на многочлен" является алгебраической структурой, которую мы назвали полем. Это значит, что там есть все четыре операции, и деление возможно всегда, если знаменатель не равен нулю. Ответом будет простая дробь, в знаменателе которой снова будет ненулевой многочлен, все правила арифметики соблюдены.
- Ну и что? Мало ли какие эти ваши поля бывают? На ноль делить всё равно нельзя, но почему я должна как-то этим впечатлиться? Это игры математиков промеж собой, я стремлюсь совершенно не туда.
- Погоди, надолго я тебя не задержу. Давай присмотримся ко всем рациональным функциям, которые в нуле принимают какое-то определённое числовое значение. Когда такое случается?
- Ну, когда мы имеем дело с дробью P(x)/Q(x) такой, что Q(0) не равно нулю.
- А как насчёт дроби (x^2+x)/(x^2-x) ?
- Сначала сократить на x, конечно, надо, если сокращается.
- А что можно сказать про область определения каждой такой функции?
- Ну, она содержит 0, мы так с самого начала захотели.
- А может она содержать 0 на краю? Может, скажем, она быть отрезком [0,1]?
- Нет, 0 всегда будет внутри: область определения всегда будет содержать открытый интервал между двумя ненулевыми корнями Q, самым большим отрицательным и самым малым положительным.
- Отлично. Давай рассмотрим теперь все такие рациональные функции, определённые в некоторой окрестности нуля (каждая - в своей). Обозначим это множество Х (хорошие). Что про них можно сказать?
- Ну, небось, они тоже образуют поле...
- Не торопись. Три операции всегда можно выполнить, и ответ всегда будет определён где надо, т.е., лежать в Х. А вот деление?
- А что деление? Мы же видели только что, что на любую рациональную функцию можно поделить.
- Да, но сейчас мы рассматриваем не все рациональные функции, а только Х(орошие), те, которые определены в окрестности нуля. Например, функция R(x)=x лежит в Х?
- Да, лежит, конечно. Ах да, 1/х там уже не лежит.
- Не лежит, но существует (в том смысле, в каком существуют все рациональные функции).
- Поняла! Ты сейчас её добавишь к Х?
- Умница. И не только её. Потому, что я хочу, чтобы в конце концов мы расширили множество Х (кольцо, три операции) до поля (четыре операции). Значит, я должен добавить функции (1/x)^2, (1/x)^3, а также всевозможные их суммы, разности, произведения и т.д.
- И тогда у нас будет поле?
- Да. Это будет поле рациональных функций вида x^n P(x)/Q(x), где n - целое число, (возможно, отрицательное!), а P,Q - два полинома, ОБА не обращающиеся в ноль при x=0. Обозначим это множество буквой М. Сама проверишь, что функции из М всегда можно делить друг на друга?
- Чего там проверять?
- Проверять надо, как это не смешно, сложение/вычитание. Будем называть число n порядком корня функции из М, если оно положительно, и порядком полюса, если (- n) положительно. При n=0 функция не обращается в нуль в точке x=0. Так вот, при сложении/вычитании поведение этого порядка довольно неочевидно: он может остаться равным порядку одного из слагаемых/вычитаемых, а может и сильно измениться. Подумай: весь вопрос в том, как сумму двух "каконических выражений" привести к каноническому виду.
- Ну хорошо, а чем наше поле так уж примечательно? Чем оно лучше поля всех рациональных функций?
- Это поле очень похоже на множество обычных чисел. Все функции с n=0 имеют вполне определённое ненулевое числовое значение при x=0, равное P(0)/Q(0), и операции в М с такими функциями не отличаются от результатов с числовыми значениями. Функции с n > 0 обращаются в нуль при x=0, с этой точки зрения их все можно считать "числовыми нулями". Но прелесть в том, что они - разной степени нулевости, так сказать: "ноль" x^5 гораздо "нулевее", чем "ноль" x^2, но при этом гораздо больше, чем "ноль" x^7. И что совершенно замечательно, - все они обратимы: если поделить единицу на все эти "околонули", то получаются функции с отрицательными значениями n, т.е., "вродебесконечности" с полюсами разных порядков. Самая маленькая из них - 1/х, та самая гипербола, с которой мы начали.
- Погоди, это что же получается? Мы взяли наш старый добрый числовой ноль, точку на числовой прямой, и "надули" его через соломинку, как лягушку, а когда он раздулся до размеров футбольного мяча, мы на нём нарисовали разные новые "околонули" разных размеров?
- "Взгляд, конечно, варварский, но верный" ©. Только не надо думать, что мы с нулём обошлись как-то иначе, чем с остальными точками-числами.
- Почему? Их-то мы не надували?
- Надули, просто ты этого не заметила. В нашем грубом приближении, заменяя Х(орошие) функции их значениями в x=0, мы не отличаем друг от друга функции 2, 2+x и 2+x^3+7x^5: все они при x=0 принимают одно и то же значение 2, а разницу между ними мы почувствуем, только если сравним друг с другом (вычтем) две функции из этой двойкиной свиты.
- И с "бесконечностями" разными то же самое?
- Ну конечно. Функции (1/x)^2, (1/x)^2+(1/x) и (1/x)^2 + 1 с точки зрения "величины" (скорости роста до бесконечности) практически неразличимы.
- Да, занятно.
- Ты будешь ещё больше удивлена: в нашем поле М есть неравенство! Нет, не классовое и не экономическое, конечно, а математическое: отношение "больше-меньше". Собственно, ты сама можешь угадать, как оно выглядит, после наших разговоров о маленьких и больших нулях.
- А оно будет удовлетворять обычным правилам, или опять какая-то засада?
- И да, и нет. Но складывать неравенства и умножать их на "положительные" элементы поля (функции из М) будет можно.
- Ну, тогда достаточно понять, как сравнивать с нулём. Я бы сказала, что функция P(x)/Q(x) с числителем и знаменателем, не обращающимися в ноль, положительна, если число P(0)/Q(0) положительно, и отрицательна, если оно отрицательно.
- В логике тебе не откажешь.
- А что будет, если функция меняет знак?
- Давай договоримся, что функция R(x)=x положительна, R>0.
- Но это же не так!
- Чтобы не путаться, давай обозначать наш Новый Порядок красным цветом. В предыдущем равенстве знак ">" - красный. А дальше по правилам.
- Тогда получится, что "каноническая" дробь x^n P(x)/Q(x) красноположительна, если и только если число P(0)/Q(0) черноположительно при всех n, хоть черноположительных, хоть черноотрицательных.
- Верно.
- Ффу. А дальше?
- А дальше, например, 2+x^2 краснобольше 2, но красноменьше, чем 2+x. A 2-x^2 краснобольше, чем 2-x. Вычитаем одно из другого и сравниваем с нулём.
- И никаких неприятностей не будет?
- Смотря что называть неприятностями. Можно проверить, что красное неравенство - полное отношение: для любых двух функций из М либо одна больше, либо другая, либо они равны. Ну, и все остальные "арифметические" правила тоже сохранятся, это легко один раз и навсегда проверить.
- А чего не будет?
- Того, чего не обещали. Вот смотри, каким любопытным свойством обладает чёрное неравенство. Пусть а - маленькое, но ненулевое положительное число. Если мы сложим его само с собой достаточно большое (но конечное) число раз, т.е., фактически умножим на большое натуральное N, результат Na когда-нибудь станет больше единицы. Это свойство называется аксиомой Архимеда и означает, что среди чисел нет бесконечно-малых.
- А в нашем поле М?
- А в нашем поле красноположительная функция Nx никогда не станет краснобольше единицы, какое число N не возьми. Такие поля называются неархимедовыми.
- Интере-е-е-сно...
- На самом деле инженеры хорошо знакомы с нашим полем. Оно очень похоже на поле рядов Лорана. Так называют бесконечные суммы, состоящие из степеней x^n с числовыми коэффициентами, в которых отрицательных степеней лишь конечное число. Все алгебраические свойства рядов Лорана - те же, что у нашего класса функций М. Разница почувствуется тогда, когда мы захотим вычислять значения рядов Лорана в каких-нибудь точках, отличных от нуля: там потребуется сходимость. Но даже сходимость ряда не гарантирует, что результат будет рациональной функцией, так что в конце концов это будут разные алгебраические объекты. Впрочем, это уж точно за пределами наших с тобой экзерциций.
- Так что в конце концов мы строили, строили и наконец построили?
- А построили мы алгебраическую систему, которая расширяет наше привычное числовое поле (т.е., содержит внутри себя все числа), допускает все четыре арифметических действия (кроме деления на ноль), но включает в себя интуитивно понимаемые "бесконечные" числа, линейно упорядоченные между собой (хоть и без аксиомы Архимеда). Без всякой мистики, без заклинаний, без утверждений, которые мы могли бы немедленно доказать или опровергнуть.

- И что, на этом все проблемы кончаются?
- Да ты шо, доча! Всё только начинается! Если мы вернёмся на шаг назад и посмотрим на обычные числа, с которых всё начиналось, то мы увидим, что они очень несовершенны (за пределами арифметических операций). В этих (рациональных) числах неразрешимы простейшие уравнения вида x^2=2. В этих числах есть бесконечное количество дыр, если расположить их на прямой: более того, дыр бесконечно больше, чем самих чисел, и с этим надо что-то делать. Наконец, есть мир комплексных чисел, в котором огромное количество вещей плотно встают на свои места. Наведя порядок с числами, можно снова вернуться к рациональным функциям с коэффициентами в этих новых числах, и обнаружить массу новых фактов. Но это всё уж точно в другой раз. Я тоже задрался, не только ты.