xaxam: (Default)

Закрывая гештальт и просветительский сезон

Скорее всего, это уже никому и не нужно, но всё же надо довести до конца начатое месяц назад. Очистки совести под сукном )

Немного отравы на десерт

Усмотреть периодичность синуса непосредственно из бесконечного ряда для него, дистиллированного из формулы Эйлера, непросто, а она-таки важна. Подумайте, что было бы, если бы надо было на карманном калькуляторе вычислить значение, скажем, . Ряд, конечно, сходится, но по дороге пришлось бы работать с числами порядка (прикиньте, влезло бы такое число в разрядную сетку калькулятора, и какая абсолютная ошибка образовалась бы при округлении). Однако ж, несмотря на столь здоровенные слагаемые посередине, если мы учтём все "хвосты", мистическим образом окажется, что все громадные числа сократятся друг с другом, а правильный ответ окажется на интервале от минус единицы до единицы. Разумеется, никто не считает синус ста "в лоб" (ошибки округления убьют ответ насмерть): пользуясь периодичностью, достаточно свести задачу к вычислению синуса на отрезке от нуля до , а на нём-то ряд сходится молниеносно. Это к тому, что разница между многочленами (которые не бывают периодическими) и бесконечными рядами ого-го какая, как бы ни хотелось сделать вид, что они близкие родственники.

На этом лавочка культматпросвета закрывается на технический перерыв

Спасибо за внимание. Если кому ещё чего интересно, оставляйте заявки.
xaxam: (Наблюдатель)

Задача имени Шкробиуса

По следам (не закончившихся ещё) обсуждений у Шкробиуса по поводу того, как надо "правильно" определять извилистость гладкой кривой на плоскости, придумал такую вот задачку. Но сначала небольшой "разогрев" с кием и бильярдным шариком.

Рассмотрим "бильярдный стол", состоящий из двух близких параллельных стенок и двух открытых торцов ("широкие лузы"). Ширина "стола" - малый параметр. Если в такой бильярд запустить шарик параллельно стенкам, то он, конечно, вылетит с другой стороны, ни разу не стукнувшись. Но даже если мы сделаем небольшую ошибку и запустим шарик под малым углом к оси, он несколько раз успеет отразиться от бортов, прежде чем вылетит с другого конца. Задача посчитать, сколько раз он стукнется (в зависимости от соотношения длины и ширины, а также угла) - отличное развлечение для шестиклассника.

Теперь предположим, что ещё и сам бильярд сделан кривыми руками, и стенки его не совсем параллельны и размер выхода меньше размера входа. Тогда оказывается, что возможен эффект "внутреннего отражения": даже при малых углах начального отклонения шарика от оси бильярда шарик, поболтавшись какое-то время внутри, вылетит обратно через ту же дырку, через которую влетел. Это задача на качественном уровне тоже доступна семикласснику, хотя обсчитать её немного сложнее.

А теперь - задача имени Шкробиуса. Предположим, что изготовитель бильярдов ещё более криворук и сделал стол таким образом: нарисовал на плоскости гладкую кривую (скажем, дугу окружности или график какой-то хорошей функции), после чего сделал стенки так, чтобы они везде были на одном и том же расстоянии от кривой ("эквидистанты"). Если расстояние оказалось слишком большим, то такие стенки могут оказаться не гладкими кривыми, а иметь особенности (ключевое слово -растояние до забора надо сравнивать с радиусом кривизны кривой там, где этот радиус достигает минимума). Но предположим, что до такого безобразия дело не дошло, и мы имеем дело с "узким каналом постоянной ширины" вокруг хорошей кривой. Вопрос, - может ли бильярдный шарик в таком бильярде испытывать "внутреннее отражение"?

Постоянство ширины вроде бы делает невозможным сценарий типа описанного выше, поскольку "в линейной аппроксимации" мы имеем канал с параллельными стенками. С другой стороны, кривизна канала тоже вносит свои коррективы. Скорее всего, ответ можно угадать, рассмотрев канал между узкими концентрическими окружностями (такая задача тоже решается элементарно), но не факт, что идеально круглый и "примерно круглый" канал будут вести себя одинаково.

Наконец, самая интересная (?) задача, - что будет, если "осевая кривая" канала делает перегиб. С одной стороны, вблизи перегиба "кривой канал" становится ещё ближе к "прямому каналу" и, значит, такие перегибы шарик должен был бы пролетать со свистом. С другой стороны, - вдруг там что-нибудь накопится?

Для "технарей": задача имеет несколько естественных параметров, из которых два (ширина канала и начальный угол, под которым влетает шарик) - малые. Если мы будем считать пределы, надо аккуратно смотреть, в каком порядке мы переходим к пределу "малый параметр стремится к нулю". Я специально не формулирую задачу точно, - правильный вопрос есть часть задачи.

Для "физиков": может быть, надо считать не число отражений от стенок, а суммарный нормальный импульс, переданный шариком стенкам. Изначальная идея была мерить извилистость "осевой кривой" как меру гидродинамического сопротивления, которое капилляр оказывает току протекающего газа (жидкости, вязкой жидкости, суспензии...)

Update. Вот здесь [livejournal.com profile] vsvor нашёл элементарный аргумент, доказывающий, что из канала постоянной ширины внутреннего отображения быть не может!
xaxam: (Default)

Знакомьтесь: логарифм

На прошлом уроке, обсуждая связь интеграла (площади под графиком функции) и антипроизводной (решением дифференциального уравнения с известной правой частью f(x) и неизвестной функцией F(x) в левой части), мы нашли уравнение, которое "не решается" (ну, или интеграл, который "не берётся"). Непер - это не только фазовое состояние игрока в преферанс, но и имя очень умного человека )

Есть и ещё один способ вычислить решение дифференциального уравнения , "метод полицейского". Он-то и приведёт нас к синусам и косинусам.
xaxam: (Default)

Кстати, об обозначениях

Разнообразия ради, данный недоурок целиком адресован технарям и любопытным школьникам, и касается он обозначений, которыми мы пользуемся. Биологи, боящиеся сломать мозг, ничего не потеряют, если пропустят всю эту схоластику. )

Мораль: интегрируем мы на самом деле не функцию, а её дифференциал . Вот и весь сказ. Триста лет понадобилось, чтоб разобраться в этих хитросплетениях, но худо-бедно справились.
xaxam: (Default)

Интеграл

Какое практическое применение интеграла? Ну вот, скажем, как-то у меня наручные часы упали в унитаз. Ну я, будучи математиком, не растерялся, а взял проволоку, выгнул ее в форме интеграла и достал часы. Так-то!

Приписывается министру Фурсенке



Интеграл - это восстановление яблока по тоненьким долькам

Задача вычисления площадей и объёмов геометрических фигур всегда была стратегически важной, начиная с составления смет на строительство египетских пирамид и сельскохозяйственных отчётов надзирателей над рабами в Третьей династии Ура, где впервые сформулировали (без доказательства) теорему Фубини (см. фото) для кусочно-постоянных функций. Как, вы не слышали про теорему Фубини? )

Но это уже тема следующего урока, а пока всем чмоки. Тем, кто дочитал досюда - в виде бонуса забавный текст Миши Каца с коллегами (по-английски), обсуждающий в непривычно беллетризованном формате проблемы с "бескончно-малостью", от Лейбница и епископа Беркли до Сахарона Шелаха.
xaxam: (Default)

Произведнём-ка что-нибудь?

Как читатель, надеюсь, усвоил из предыдущего урока, а если не усвоил, то какого хрена лезть под сукно? )

Ахтунг! текст не отредактирован (хотя в основном закончен). Формулы конечно, перекосячены кросс-постом, - все "штрихи" (primes) стали уродскими apost;-ами. Я поправлю это, конечно, но пока осмысленно читать только оригинал на Дриме поправлены.
xaxam: (Default)

Сучий потрох ЖЖ

Дописал, наконец, до конца текст урока про производную и дифференциал для домохозяек с небольшим аппендиксом "для технарей".

К сожалению, сучий потрох ЖЖ считает, что текст слишком длинный, и ни вручную, ни автоматически не соглашается его кросс-постить. Так что уж извините, граждане, читать придётся там (а комментировать и дискутировать - на ваше усмотрение).
xaxam: (Default)

Дифференциал и производная

Напоминания и разминка

Читатель помнит, надеюсь, а если не помнит, то и читать дальше нечего )
xaxam: (Default)

Урок первый: числа и функции

Всем, умученным от "линейки" и "матана", посвящается и к изучению предписывается.

Аффтар.



Сначала чуть-чуть истории. В славные советские времена проводилась чёткая грань между "элементарной" (она же школьная) математикой и "высшей" (она же институтская). Эта грань проходила по матану™: страшные слова "производная" и "интеграл" были табуированы; их запрещалось произносить на вступительных экзаменах, а составители школьных учебников механики рыдали и изъяснялись исключительно эзоповым языком.

Потом появилась пресловутая "колмогоровская программа", которая довольно бездумно перенесла азы матана в школу. Как всегда, почти никто не объяснял школьникам, чтó они делают и зачем, а вместо этого стали учить ремесленной составляющей, - как делать, и тренировать безошибочность действий "на время" (т.е., как получать хорошие оценки на экзамене). При этом оказалось, что "дифференцировать - это просто", и с этим школьники справляются легко, а интегрировать - ужас-ужас.

Дети - существа живучие, и так или иначе все, умученные от матана в школе и институте выросли и как-то нашли себя в жизни. Тем не менее некоторым, наверное, до сих пор интересно, - "а что вот всё это было?" Сегодня, много лет спустя, пришло время раскрыть секрет и объяснить-таки интересующимся, чему их пытались научить. Чем же занимались школьники на самом деле? )

P.S. Большая просьба к восторженным п(р)очитателям: данный текст правится и ещё долго будет правиться (где-то по мелочам, где-то серьёзнее), так уж заведено у нас, двухцветных питонов, скалистых змеев. Пожалуйста, не делайте репост! не засоряйте тырнет черновиками! Если уж так хочется, - приведите полюбившуюся вам цитату (заодно и я узнаю, чем особенно я вам полюбился) и ссылку на эту страницу. Заранее с пониманием!
xaxam: (Default)

Комплексный подход

У Толи [livejournal.com profile] avva несколько дней назад состоялась дискуссия на две с лишним сотни комментов с обсуждением того, как заказную статью Мамфорда и Тэйта о Гротендике не опубликовали в Nature, поскольку-де биологи не знают, что такое многочлены и комплексные числа, и не поймут-съ. Дискутанты сосредоточились на вопросе о том, должен ли коммунист платить членские взносы со взяток биолог знать, что такое многочлены и комплексные числа. Поскольку потасовка не частная, и любой может к ней присоединиться, - редакция "ХВ" с удовольствием влезает со своим мнением. Не всё же о мудаках писать.

Проще всего ответить на вопрос, прав ли был редактор Nature, завернув статью. Безусловно, прав. Опыт нелитературной критики )

Возвращаясь к исходному вопросу, - должен ли биолог знать о существовании комплексных чисел, - ответ очевиден. Никто никому ничего не должен. Нет такого закона в УК, чтоб каждый непременно прочитал "Одиссею", "Евгения Онегина" и хоть раз увидел на репродукции "Сороку на виселице" Брейгеля. Каждый сам выбирает, чего ему знать, а чего нет.
xaxam: (Default)

Беллетризованный диалог к.ф.-м.н. Симпличио и Ph.D. Сальвиати

Как-то раз зимой летел воробей, замерз и упал без сил. Шла мимо корова, шлепнула лепешку, воробья накрыло, он отогрелся и зачирикал. В это время рядом пробегала кошка: слышит, кто-то чирикает, вытащила воробья и съела.

Мораль: не тот враг, кто тебя в говно посадил; не тот друг, кто тебя из говна вытащил. А главное - уж коли сидишь в говне, так не чирикай.

Народная мудрость


Ты не обязан завершить работу, но ты и не можешь отлынивать от нее.

Рабби Тарфон, Пиркей Авот, II:16



В ЖЖ (и не только) почему-то периодически вспыхивают дискусии об обскурантах-мракобесах и передовиках в науке. Чтоб не отставать от тренда, "ХВ" поразмышляют сегодня вслед за Шкробиусом о нескольких поучительных примерах из истории математики, где здоровые силы в конце концов одолели ретроградов и привели нас в то счастливое настоящее, за которым (если передовикам и дальше будет сопутствовать успех) нас ждёт еще более блестящее будущее. Речь пойдёт о школьной программе по математике, скучающие могут пропустить без большого ущерба для субботнего досуга )

Profile

xaxam: (Default)
xaxam

June 2017

S M T W T F S
     1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 1415 1617
18192021 222324
252627282930 

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jun. 26th, 2017 03:30 am
Powered by Dreamwidth Studios